Problem Waringa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę[1], że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. 7 = 2²+ 1² + 1² + 1²). Ogólny zapis hipotezy:

Dla każdej liczby całkowitej n > 1,jest liczba k = k (n), że każda liczba całkowita dodatnia N może być zapisana jako:

x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad

z nieujemną liczbą całkowitą x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k.

Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange'a i obecnie nazywana jest problem Waringa.

Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909-David Hilbert, 1920-Hardy i Littlewood[2]). W roku 1909 David Hilbert wykazał[3], że dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba s, że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej s k-tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego k liczba g(k) oznacza najmniejsze takie s. Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji g(k)[4].

Kilka pierwszych wartości funkcji g(k) to:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055...

Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma k-tych potęg, np. 310=172+42+22+12=152+92+22+02

Przypisy

  1. Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
  2. Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
  3. Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, s. 281—300 (1909)
  4. ACTA ARITHMETICA [1]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (ISBN 0821801694)

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]