Problem odwrotny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Załóżmy, że nasz model polega na sumowaniu wszystkich cyfr z pudła (A). Za pomocą zagadnienia odwrotnego staramy się z otrzymanego wyniku odtworzyć zawartość pudła (B). Pomyślność rozwiązania zależy od informacji jakie posiadamy na temat założeń dotyczących naszego modelu.

Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) jest zadaniem, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone z obserwowanych wartości.

Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:

\mathbf{Y} = \mathbf{H}(\mathbf{X},\mathbf{P},\mathbf{C})

gdzie \mathbf{Y}=\{y_1, y_2,\dots, y_m\} to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); \mathbf{X}=\{x_1, x_2,\dots, x_n\} to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); \mathbf{P}=\{p_1, p_2,\dots, p_r\} oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); \mathbf{C}=\{c_1, c_2,\dots, c_k\} oznacza warunki brzegowe; \mathbf{H} to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów \mathbf{X},\mathbf{P},\mathbf{C} wyznaczana jest wartość \mathbf{Y}, to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora \mathbf{Y} i wybranych parametrów spośród \mathbf{X},\mathbf{P},\mathbf{C} mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów \mathbf{Y} i \mathbf{X}, wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym.[1]

Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.

Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej[2], wyznaczanie prądów morskich[3], zastosowanie w badaniach nieniszczących[1], czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii[4] i elektroencefalografii.[5]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 G.R. Liu, X. Han: Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation. CRC Press, 2003. ISBN 9780849315237.
  2. Introduction to Inverse Problems in Imaging. CRC Press, 1998. ISBN 978-1-4398-2206-7.
  3. Carl Wunsch: The Ocean Circulation Inverse Problem. Cambridge University Press, 1996. ISBN 0521480906.
  4. Yuan Jiang: Solving the Inverse Problem of Electrocardiography in a Realistic Environment. KIT Scientific Publishing, 2010. ISBN 978-3-86644-486-7.
  5. Johannes Höhne: The inverse EEG problem. GRIN Verlag, 2008. ISBN 978-3-638-06888-8.