Proces Lévy'ego

Procesem Lévy'ego nazywamy proces stochastyczny $(X_t)_{t\geqslant 0}$ na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ o wartościach w przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^d$, spełniający następujące warunki:

1. $X_0 = 0$, $P$-prawie wszędzie,
2. dla każdego ciągu $0 \leqslant t_0 < t_1 < \dots < t_n$ zmienne losowe $X_{t_0}, X_{t_1} - X_{t_0}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}$ są niezależne,
3. rozkład $X_{s+t} - X_s$ nie zależy od $s$ dla każdych $s,t\geq 0$,
4. proces $X_t$ jest ciągły według prawdopodobieństwa tzn. dla każdego $t\geq 0$ i dla każdego $\varepsilon >0$

$\lim_{s \to t} P(|X_s - X_t| > \varepsilon) = 0$.

Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy'ego.

Ważne własności

Najważniejszą cecha procesów Lévy'ego sprawiającą, że są intensywnie badane jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej ilości procesów Lévy'ego jest także procesem Lévy'ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy'ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy'ego w ogólności nie mają skończonej wariancji, czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa gdzie wariancja jest skończona.

Wzór Lévy'ego

Rozkład procesu Lévy'ego w momencie $t\geq 0$, $X_t$ jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy'ego w chwili t - tzw. wzór Lévy'ego-Chinczyna:

$E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)}$,

gdzie

$\psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1 - i<u,y> 1_{\| x\| \leqslant 1}(y)\right] \nu(dy),$

przy czym

$\nu$ jest miarą na $R^d - \{0\}$ spełniającą warunek

$\int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \| y \|^2 \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty,$

a $A$ jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję $\psi(u)$ nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy'ego. Trójkę $(b,A,\nu)$ nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy'ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.

Jeśli $\int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \| y \| \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty,$, to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci $\psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1\right] \nu(dy),$

Rozkład Lévy'ego–Itō

Proces Lévy'ego można przedstawić jako sumę

$X_t = b t + X^{(1)}_t + X^{(2)}_t + X^{(3)}_t$,

gdzie $X^{(1)}$ jest wielowymiarym procesm Wienera z macierzą kowariancji $A$, $X^{(2)}$ jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara $\nu(y)1_{\|y\|>1}$. Proces $X^{(3)}$ to czysto skokowy martyngał.

Przykłady

Szczególnymi przypadkami procesu Lévy'ego są:

• Proces Poissona - jest to najprostszy proces Lévy'ego. Dla d=1 funkcja charakterystyczna jest postaci

$\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1))$, przy czym $z \in \R$.

Miara prawdopodobieństwa w punkcie $k = 0, 1, 2, \dots$: $\mu(\{k\}) = e^{-c} \frac{c^k}{k!}$.

Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1.

• Proces gamma. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami $a, b > 0$ to: $f(x; a,b) = \frac{b^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} \exp (-xb),\quad x > 0$.

Funkcja charakterystyczna jest postaci: $\hat{\mu}(z) = (1 - \frac{iz}{b} )^{-a}$.

• Proces Cauchy'ego. Przy $\gamma \in \R, c > 0$, miara zbioru borelowskiego to:

$\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx,$ funkcja charakterystyczna to:

$\hat{\mu}(z) = \exp -c|z|+ i\gamma z, \quad z \in \R$.

• Proces Wienera. Jego funkcja charakterystyczna, przy $\gamma \in \R, a > 0$, to:

$\hat{\mu}(z) = \exp (-\frac{1}{2} a z^2 + i \gamma z),\quad z \in \R$, miara zbioru borelowskiego to:

$\mu(B) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int\limits_B \exp (\frac{-(x-\gamma)^2}{2a} ) d x$.

Zobacz też

• Przestrzeń mierzalna,
• Prawdopodobieństwo,
• Procesy stochastyczne.