Proces Poissona

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym - procesem Markowa) $(N_t,\; t \geq 0)$ zdefiniowana w następujący sposób:

$N_t = \begin{cases} 0, &X_1 > t\\ \sup\{n: X_1 + \dots + X_n \le t\}, &X_1 \le t\end{cases}$.

Gdzie ciąg $(X_i\;)_{i = 1, 2, 3...}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem $\lambda$.

Zmienna $X_i\;$ oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a $N_t\;$ to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicje

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności $\lambda$ wtedy i tylko wtedy gdy:

(i)

1. $N_0 = 0 \;$; W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
2. $(N_t,\; t\geq0)$ ma przyrosty niezależne.
3. $N_b - N_a \sim Poiss(\lambda(b-a)) \quad dla \quad b>a$ różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

1. $N_0=0 \;$.
2. $(N_t,\; t\geq0)$ ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
3. $P(N_h =1) = \lambda h + o(h) \;$.
4. $P(N_h \geq 2) = o(h)$.

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci - wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

Własności

Niech $S_{n} = \sum_{i=1}^{n} X_{i}$. Wtedy $S_{n}$ ma rozkład Erlanga z parametrami $k = n, \theta = 1/{\lambda}$.

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Léviego.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa