Proces gaussowski

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Proces gaussowski jest procesem stochastycznym \left\{X_{t}\right\}_{t \in T}, którego rozkłady skończenie wymiarowe są gaussowskie. Najbardziej znanymi przykładami procesów gaussowskich są proces Wienera i most Browna.


Definicja[edytuj | edytuj kod]

Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności rozkładu normalnego. Mówimy, że proces \left\{X_{t}\right\}_{t \in T} jest procesem gaussowskim, gdy

  • Definicja 1 - dla każdego skończonego zbioru indeksów t_1, t_2, \ldots, t_n \in T zmienna losowa

(X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_n}) ma rozkład normalny.

 \operatorname{E}\left(\exp\left(i \ \sum_{\ell=1}^k t_\ell \ \mathbf{X}_{t_\ell}\right)\right) = \exp \left(-\frac{1}{2} \, \sum_{\ell, j} \sigma_{\ell j} t_\ell t_j + i \sum_\ell \mu_\ell t_\ell\right).

Proces gaussowski nazywamy scentrowanym, gdy \forall_{t\in T} \operatorname{E} X_t = 0

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla procesu gaussowskiego definiujemy funkcję wartości średniej f(t) = \operatorname{E} X_t i funkcję kowariancji  c(t_1, t_2) = Cov(X_{t_1}, X_{t_2}). Funkcja kowariancji jest dodatnio określona. Na odwrót para funkcji f:T\rightarrow \mathbb{R}\, \, c:T\times T\rightarrow \mathbb{R}, gdzie  c jest dodatnio określona definiuje proces gaussowski. Jest on jedyny z dokładnością do rozkładów skończenie wymiarowych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]