Proces stacjonarny

Proces stacjonarny - proces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne są stałe.

Gdy wartość średnia oraz funkcja autokorelacji zmieniają się wraz ze zmianą czasu, proces losowy {x(t)} nazywa się niestacjonarnym. W szczególnym przypadku, gdy wartość średnia oraz funkcja autokorelacji nie zależą od czasu t1, proces losowy {x(t)} nazywa się słabo stacjonarny lub stacjonarny w szerszym zakresie. Średnia wartość słabo stacjonarnych procesów jest stała, a funkcja autokorelacji zależy tylko od przesunięcia tau.

W matematyce proces stacjonarny (lub proces ściśle stacjonarny) to proces stochastyczny dla którego rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nie zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. W efekcie, parametry takie jak średnia i wariancja także nie ulegają zmianie wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni.

Przykładem procesu stacjonarnego jest proces szumu białego.

Dyskretny w czasie proces stacjonarny, gdzie przestrzeń zdarzeń jest także dyskretna (zmienna losowa może przyjmować jedną z N możliwych wartości) jest znany jako schemat Bernoulliego. Jeśli N=2, proces jest nazywany procesem Bernoulliego.

Słaba stacjonarność (stacjonarność w szerszym sensie)

O słabszej formie stacjonarności często mówi się w problemach związanych z przetwarzaniem sygnałów. Słaba stacjonarność jest także znana jako stacjonarność w szerszym sensie lub stacjonarność rzędu dwa. Warunkiem stacjonarności w szerszym sensie procesu losowego jest tylko to, aby pierwszy i drugi moment nie zmieniał się w czasie.

Ciągły w czasie proces losowy x(t), który jest stacjonarny w szerszym sensie ma nałożone następujące ograniczenia na jego wartość średnią:

1. $\mathbb{E}\{x(t)\} = m_x(t) = m_x(t + \tau) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}$

i funkcję korelacji:

2. $\mathbb{E}\{x(t_1)x(t_2)\} = R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) = R_x(t_1 - t_2, 0) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}$

Pierwsza własność implikuje stałość wartości średniej m_x(t). Druga własność implikuje zależność wartości funkcji korelacji wyłącznie od różnicy pomiędzy $t_1$ i $t_2$ i jest funkcją tylko jednej zmiennej (przesunięcia). Czasami zamiast zapisu:

$\,\!R_x(t_1 - t_2, 0)$

upraszcza się notację i zapisuje się:

$R_x(\tau) \,\! \mbox{ gdzie } \tau = t_1 - t_2$