Produkt (teoria kategorii)

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt mający morfizm w każdy z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników).

Definicja

Obiekt $\scriptstyle X$ nazywa się produktem obiektów $\scriptstyle X_1$ oraz $\scriptstyle X_2,$ oznaczając go wtedy symbolem $\scriptstyle X_1 \times X_2,$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następującą własność uniwersalną:

istnieją takie morfizmy $\scriptstyle \pi_1\colon X \to X_1, \pi_2\colon X \to X_2$ nazywane rzutami kanonicznymi, że dla dowolnego obiektu $\scriptstyle Y$ i pary morfizmów $\scriptstyle f_1\colon Y \to X_1, f_2\colon Y \to X_2$ istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm $\scriptstyle f\colon Y \to X,$ dla którego następujący diagram jest przemienny:

Jednoznacznie wyznaczony morfizm $\scriptstyle f$ nazywa się produktem morfizmów $\scriptstyle f_1$ oraz $\scriptstyle f_2$ i oznacza się go symbolem $\scriptstyle \langle f_1, f_2 \rangle.$ Powyższą definicję produktu dwóch obiektów można rozszerzyć biorąc dowolną rodzinę obiektów indeksowanych pewnym zbiorem $\scriptstyle I.$ Obiekt $\scriptstyle X$ nazywa się produktem rodziny $\scriptstyle \{X\}_i$ obiektów wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją takie morfizmy $\scriptstyle \pi_i\colon X \to X_i,$ że dla dowolnego obiektu $\scriptstyle Y$ oraz rodziny morfizmów $\scriptstyle f_i\colon Y \to X_i$ indeksowanej zbiorem $\scriptstyle I$ istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm $\scriptstyle f\colon Y \to X,$ dla którego następujący diagram jest przemienny dla wszystkich $\scriptstyle i \in I:$

Produkt oznacza się wtedy symbolem $\scriptstyle \prod_{i \in I} X_i;$ jeżeli $\scriptstyle I = \{1,\dots, n\},$ to na oznaczenie produktu obiektów zwykle używa się oznaczenia $\scriptstyle X_1 \times \cdots \times X_n,$ a produkt morfizmów często oznacza się wtedy $\scriptstyle \langle f_1, \dots, f_n \rangle.$

Produkt można również zdefiniować wyłącznie za pomocą równań – oto przykład dla produktu dwóch obiektów:

• istnienie $\scriptstyle f$ zachodzi dzięki operacji $\scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rang;$
• przemienność powyższych diagramów wynika z równości $\scriptstyle \pi_i \circ \langle f_1, f_2 \rangle = f_i$ dla wszystkich $\scriptstyle f_1, f_2$ oraz $\scriptstyle i = 1, 2;$
• jednoznaczność $\scriptstyle f$ wynika z równości $\scriptstyle \langle \pi_1 \circ f,\pi_2 \circ f \rangle = f$ dla wszystkich $\scriptstyle f.$

Produkt można także opisać za pomocą granicy: rodzinę obiektów można postrzegać jako diagram bez morfizmów; okazuje się, że traktując go jako funktor, mianowicie funktor ze zbioru $\scriptstyle I$ rozpatrywanego jako kategoria dyskretna, to definicja produktu pokrywa się z definicją granicą, przy czym $\scriptstyle \{f\}_i$ pełni rolę stożka, a rzuty są granicą (stożkiem granicznym).

Zamiast granicy można użyć własności uniwersalnej; dla porównania: w tym przypadku $\scriptstyle J$ jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, a $\scriptstyle C^J$ to po prostu kategoria produktowa $\scriptstyle C \times C,$ przy czym funktor diagonalny $\scriptstyle \Delta\colon C \to C \times C$ przypisuje każdemu z obiektów $\scriptstyle X$ parę uporządkowaną $\scriptstyle (X, X),$ a każdemu morfizmowi $\scriptstyle f$ parę $\scriptstyle (f, f)$ – produkt $\scriptstyle X_1 \times X_2$ w $\scriptstyle C$ dany jest za pomocą morfizmu uniwersalnego z funktora $\scriptstyle \Delta$ w obiekt $\scriptstyle (X_1, X_2)$ w $\scriptstyle C \times C$ – wspomniany morfizm uniwersalny składa się z obiektu $\scriptstyle X$ należącego do kategorii $\scriptstyle C$ i morfizmu $\scriptstyle (X,X) \to (X_1, X_2)$ zawierającego rzuty.

Przykłady

• W kategorii Set produktem zbiorów $\scriptstyle A$ i $\scriptstyle B$ jest iloczyn kartezjański $\scriptstyle A \times B$ wraz z rzutami $\scriptstyle \pi_1((x,y)) = x$ i $\pi_2((x,y)) = y.$
• W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z rzutami.
• W kategorii Top produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową.
• W posecie $\scriptstyle (P, \leqslant),$ traktowanym jako kategoria, produktem elementów $\scriptstyle a, b$ jest $\scriptstyle \inf \{a,b\}.$

Koprodukt

Dualną konstrukcją jest koprodukt: koproduktem obiektów $A,B \in C$ nazywamy obiekt oznaczany $A + B\;$ (niekiedy też $A \sqcup B\;$) wraz z morfizmami $w_A \colon A \to A + B$ i $w_B \colon B \to A + B$ taki, że dla każdego obiektu $P \in C$ i morfizmów $f\colon A \to P$ i $g\colon B \to P$ istnieje dokładnie jeden morfizm $h\colon A + B \to P$ taki, że $f = h \circ w_A$ i $g = h \circ w_B$.

Z zasady dualności wynika, że również koprodukt jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Przykłady

• W kategorii Set koproduktem zbiorów $A\;$ i $B\;$ jest suma rozłączna zbiorów $A$ i $B$ wraz z włożeniami $w_A(x) = (x,0)\;$ i $w_B(x) = (x,1)\;$
• W posecie $(P, \leqslant)$ traktowanym jako kategoria koproduktem elementów $a, b\;$ jest $\sup \{a,b\}$.