Promień spektralny
Promień spektralny elementu a algebry zespolonej z jedynką A - liczba nieujemna
, zdefiniowana wzorem
,
gdzie symbol
oznacza widmo elementu a w algebrze A, tzn. zbiór
,
przy czym
oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze A oraz
jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu a jest puste, definiuje się
.
Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki - w tym przypadku każdy element a algebry A, która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry A#, powstałej z A poprzez dołączenie jedynki.
Spis treści |
[edytuj] Podstawowe własności. Wzór Gelfanda
Niech A będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech a będzie dowolnym elementem A. Wówczas
- widmo
jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli a ≠ 0, to promień spektralny
jest dodatni. - dla każdej liczby naturalnej k oraz dla każdego

.
Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że
.
Jeżeli a jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.
[edytuj] Własności
Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej E tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej E jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz T, T1, T2: E → E są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.
- Jeżeli
jest skalarem, to
.
- Jeżeli
jest liczbą naturalną, to
.
, jeżeli ponadto
, to
,
.
- Jeżeli
jest przestrzenią Hilberta oraz
jest operatorem normalnym, to
.
Przypisy
- ↑ I. M. Gelfand, "Normierte Ringe", Mat. Sb. (N.S.) 9 (51) (1941), 3-24
[edytuj] Bibliografia
- H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, ss. 78, 183, 193
,
,
.

.
.
jest skalarem, to
.
jest
.
, jeżeli ponadto
, to
,
.
jest
jest
.