Promień spektralny

Promień spektralny elementu a algebry zespolonej z jedynką A - liczba nieujemna $\nu_A(a)$, zdefiniowana wzorem

$\nu_A(a) = \sup\{|z|\colon z\in\sigma_A(a)\}$,

gdzie symbol $\sigma_A(a)$ oznacza widmo elementu a w algebrze A, tzn. zbiór

$\sigma_A(a)=\{z\in \mathbb{C}\colon ze_A-a\notin\mbox{GL}(A)\}$,

przy czym GL(A) oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze A oraz $e_A$ jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu a jest puste, definiuje się

$\nu_A(a)=0\,$.

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki - w tym przypadku każdy element a algebry A, która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry A^#, powstałej z A poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda

Niech A będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech a będzie dowolnym elementem A. Wówczas

• widmo $\sigma_A(a)$ jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli a ≠ 0, to promień spektralny $\nu_A(a)$ jest dodatni.
• dla każdej liczby naturalnej k oraz dla każdego $r>\nu_A(a)$

$a^k = \frac{1}{2\pi i}\int_{\{|z|=r\}}\zeta^k(\zeta e_A-a)^{-1}d\zeta$

• $\nu_A(a)= \inf\{\|a^n\|^{\frac{1}{n}}\colon\; n\in\mathbb{N}\}=\lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{\frac{1}{n}}$.

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

$\nu_A(a) = \max\{|z|\colon z\in\sigma_A(a)\}$.

Jeżeli a jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej E tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej E jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz T, T₁, T₂: E → E są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

• Jeżeli λ jest skalarem, to

$\nu(\lambda T)=|\lambda |\nu(T)\,$.

• Jeżeli k jest liczbą naturalną, to

$\nu(T^k)=\nu(T)^k\,$.

• $\nu(T_1T_2)=\nu(T_2T_1)$, jeżeli ponadto $T_1T_2=T_2T_1$, to

$\nu(T_1T_2)\leqslant \nu(T_1)\nu(T_2)$,

$\nu(T_1+T_2)\leqslant \nu(T_1)+\nu(T_2)$.

• Jeżeli E jest przestrzenią Hilberta oraz T jest operatorem normalnym, to

$\nu(T)=\|T\|$.

Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach

Niech A będzie C*-algebrą oraz nieh I ⊆ A będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w A. Niech π: A → A / I oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. π(x) = [x] (x ∈ A). Wówczas dla dowolnego x ∈ A oraz liczby naturalnej k zachodzą wzory

$\|\pi(x^k)\| = \inf_{y\in I}\|(x+y)^k\|$

oraz

$\nu\big(\pi(x)\big) = \inf_{y\in I}\nu(x+y)$.

Jest to twierdzenie udowodnione przez G. K. Pedersena.

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, ss. 78, 183, 193