Promień spektralny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Promień spektralny elementu a algebry zespolonej z jedynką A - liczba nieujemna \nu_A(a), zdefiniowana wzorem

\nu_A(a) = \sup\{|z|\colon z\in\sigma_A(a)\},

gdzie symbol \sigma_A(a) oznacza widmo elementu a w algebrze A, tzn. zbiór

\sigma_A(a)=\{z\in \mathbb{C}\colon ze_A-a\notin\mbox{GL}(A)\},

przy czym GL(A) oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze A oraz e_A jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu a jest puste, definiuje się

\nu_A(a)=0\,.

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki - w tym przypadku każdy element a algebry A, która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry A#, powstałej z A poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda[edytuj | edytuj kod]

Niech A będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech a będzie dowolnym elementem A. Wówczas

a^k = \frac{1}{2\pi i}\int_{\{|z|=r\}}\zeta^k(\zeta e_A-a)^{-1}d\zeta
  • \nu_A(a)= \inf\{\|a^n\|^{\frac{1}{n}}\colon\; n\in\mathbb{N}\}=\lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{\frac{1}{n}}.

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

\nu_A(a) = \max\{|z|\colon z\in\sigma_A(a)\}.

Jeżeli a jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej E tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej E jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz T, T1, T2: EE są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

  • Jeżeli λ jest skalarem, to
\nu(\lambda T)=|\lambda |\nu(T)\,.
\nu(T^k)=\nu(T)^k\,.
  • \nu(T_1T_2)=\nu(T_2T_1), jeżeli ponadto T_1T_2=T_2T_1, to
\nu(T_1T_2)\leqslant \nu(T_1)\nu(T_2),
\nu(T_1+T_2)\leqslant \nu(T_1)+\nu(T_2).
\nu(T)=\|T\|.

Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach[edytuj | edytuj kod]

Niech A będzie C*-algebrą oraz nieh IA będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w A. Niech π: AA / I oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. π(x) = [x] (xA). Wówczas dla dowolnego xA oraz liczby naturalnej k zachodzą wzory

\|\pi(x^k)\| = \inf_{y\in I}\|(x+y)^k\|

oraz

\nu\big(\pi(x)\big) = \inf_{y\in I}\nu(x+y).

Jest to twierdzenie udowodnione przez G. K. Pedersena[2].

Przypisy

  1. I. M. Gelfand, Normierte Ringe, Mat. Sb. (N.S.) 9 (51) (1941), 3-24.
  2. G. K. Pedersen, Spectral Formulas in Quotient C*-Algebras, Mathematische Zeitschrift 148 (1976), 299-300.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, ss. 78, 183, 193