Proporcja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Proporcjarówność dwóch stosunków postaci

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

lub (inny zapis)

a\ :\ b=c\ :\ d\;

W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami skrajnymi, b i cśrodkowymi.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:

ad = bc\;

Reguła trzech[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dane są trzy wyrazy w proporcji, czwarty można wyliczyć posługując się wzorami:

a=\frac{bc}{d},\qquad b=\frac{ad}{c},\qquad c=\frac{ad}{b},\qquad d=\frac{bc}{a}

Wzory te znane są jako reguła trzech. W Europie weszły do użytku w XV-XVII wieku w praktyce kupieckiej.

Proporcje pochodne[edytuj | edytuj kod]

Z równania proporcji wynikają także inne proporcje: \tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{d},\quad \tfrac{d}{b}=\tfrac{c}{a},\quad \tfrac{a+b}{b}=\tfrac{c+d}{d},\quad \tfrac{a-b}{b}=\tfrac{c-d}{d},\quad \tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{a}{b},\quad \tfrac{a-c}{b-d}=\tfrac{a}{b},\quad \tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{c}{d},\quad \tfrac{a-c}{b-d}=\tfrac{c}{d},\quad \tfrac{a+b}{a-b}=\tfrac{c+d}{c-d},\quad \tfrac{a-b}{a+b}=\tfrac{c-d}{c+d},\quad prawdziwe pod warunkiem, że dane wyrażenie ma sens (w mianowniku któregoś ułamka nie otrzymamy 0).

Proporcja harmoniczna[edytuj | edytuj kod]

Proporcja postaci

\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}

jest nazywana proporcją harmoniczną. Rozkład danej liczby a na dwa składniki: b oraz a - b zgodnie z regułą proporcji harmonicznej nazywa się złotym podziałem lub podziałem harmonicznym.

Proporcja złożona[edytuj | edytuj kod]

Zapis postaci

a_1\ :\ a_2\ :\ \dots\ :\ a_n\ =\ b_1\ :\ b_2\ :\ \dots\ :\ b_n

oznacza układ równań:

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}

lub równoważnie:

\begin{cases}
\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\\
\frac{a_2}{a_3}=\frac{b_2}{b_3}\\
\dots \\
\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{b_{n-1}}{b_n}
\end{cases}

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Encyklopedia szkolna – matematyka. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 207-208. ISBN 83-02-02551-8.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]