Prosta Eulera

Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów.

Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego, a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

Dowód

Niech $A',\ B',\ H'\$ będą obrazami punktów $A,\ B,\ H$ w jednokładności o skali $\frac{1}{2}$ i środku w punkcie $C$.

Wtedy $2 \cdot A'H' = AH$.

Czworokąt $A'OB'H'$ jest równoległobokiem, więc $OB'=A'H'$.

Zatem $2 \cdot OB' = AH$.

Środek ciężkości $G$ dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc $AG =2\cdot B'G$.

Ponieważ $OB' || AH$, to $\angle OB'G=\angle HAG$, bo są to kąty naprzemianległe.

Zatem $\Delta B'OG,$ jest obrazem $\Delta AHG$ w jednokładności o środku w $G$ i skali $-\frac{1}{2}$.

Stąd otrzymujemy, że $H,\ G,\ O\$ leżą na jednej prostej oraz $HG=2 \cdot GO$.

Linki zewnętrzne

• Wysokości trójkąta a prosta Eulera na cut-the-knot (ang.)
• Prosta Eulera a okrąg dziewięciu punktów na cut-the-knot (ang.)