Przekątna

Jedna z przekątnych sześcianu (A'C) oraz jednej z jego ścian (B'D')

Przekątna (dawniej: przekątnia) to odcinek łączący dowolne dwa wierzchołki wielokąta lub wielościanu, które nie leżą na jednym boku wielokąta (przekątna wielokąta) lub na jednej ścianie wielościanu (przekątna wielościanu).

Liczba przekątnych w n-kącie (czyli wielokącie o n wierzchołkach) wynosi

$p=\frac {n(n-3)}{2}\,\!$.

Liczba boków wielokąta o p przekątnych wynosi

$n=\sqrt{2p+2,25}+1,5$

Liczba sposobów, na które n-kąt wypukły może być podzielony nieprzecinającymi się oprócz końców przekątnymi na trójkąty to $C_{n-2}$ (za pomocą $n-3$ przekątnych), gdzie $C_n$ to n-ta liczba Catalana.

Liczba rozłącznych obszarów na które przekątne dzielą n-kąt wypukły (o ile żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie w jego wnętrzu):

$N={n\choose 4}+{n-1\choose 2}$$=\frac{1}{24}(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)$

Początkowe wartości tego ciągu dla n=3,4,... wynoszą: 1,4,11,25,50,91,154,246 (ciąg A006522 w OEIS)

Przekątna prostokąta o bokach długości a i b ma długość

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

Przekątna kwadratu o boku długości a ma długość

$d=a~\sqrt{2}$

Długość dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości a wynosi

$d=2a\;$.

Długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości a wynosi

$d=a~\sqrt{3}\;$.

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a, b i c ma długość

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Przekątna sześcianu o krawędzi długości a ma długość

$d=a~\sqrt{3}$

Zobacz też

• twierdzenie o wolnej przekątnej
• przekątna główna macierzy

Linki zewnętrzne

• Polygon Diagonal (ang.) w encyklopedii MathWorld