Przekrój Dedekinda

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872 w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój $(A_1, A_2)$ nie odpowiadający żadnej liczbie wymiernej wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Definicja

Niech $(X,\leqslant)$ będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru $\mathbf{X}$ nazywamy parę zbiorów $(A,B)$ taką, że $A,B\subseteq \mathbf{X}$ oraz spełnione są następujące warunki:

1. $A\neq\emptyset, B\neq\emptyset$,
2. $A\cup B=\mathbf{X}$,
3. jeżeli $a\in A$ i $b\in B$, to $a<b$.

Zbiór $A$ nazywamy klasą dolną, a zbiór $B$ klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów

Przypuśćmy, że $(A,B)$ jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym $(X,\leqslant)$. Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

1. zbiór $A$ zawiera element największy, a zbiór $B$ ma element najmniejszy,
2. zbiór $A$ ma element największy, ale w zbiorze $B$ nie istnieje element najmniejszy,
3. w zbiorze $A$ nie ma elementu największego, ale w zbiorze $B$ istnieje element najmniejszy,
4. ani zbiór $A$ nie ma elementu największego ani zbiór $B$ nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój $(A,B)$ wyznacza skok a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też

• konstrukcje liczb rzeczywistych
• Aksjomat ciągłości
• praporządek
• częściowy porządek