Przekrój zbiorów

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Przekrój zbiorów (część wspólna zbiorów) – działanie algebry zbiorów.

Spis treści

[edytuj] Definicje

Przekrój zbiorów A i B

Przekrój (inaczej część wspólna, iloczyn lub przecięcie) zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które należą również do B. Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez A\cap B. Tak więc:

A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}.

Przekrój jest zdefiniowany również dla większej ilości zbiorów: przekrój rodziny zbiorów (zwany też przekrojem uogólnionym) definiujemy mianowicie jako zbiór elementów, które należą do każdego ze zbiorów z tej rodziny. Przekrój niepustej rodziny zbiorów {\mathfrak A} jest zdefiniowany przez

\bigcap {\mathfrak A} = \{x:(\forall A \in \mathfrak A)(x\in A)\}

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów (A_i)_{i\in I}, gdzie zbiór indeksów I jest niepusty, przekrój definiujemy następująco

\bigcap_{i\in I} A_i = \{a : (\forall i \in I)(a\in A_i)\}.

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej przekrojów rodzin indeksowanych niż przekrojów zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np \bigcap_{i\in I}A_i = \bigcap \{ A_i: i\in I\}, a użycie zapisu indeksowanego jest często klarowniejsze.

[edytuj] Przykłady

{\mathbb N}\cap P=\{n\in {\mathbb N}:2 dzieli n}.
  • (0,1)\cap [1,2]=\emptyset, ale [0,1]\cap [1,2]=\{1\}
  • \bigcap\limits_{n\in {\mathbb N}} (1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}
  • Niech {\mathfrak A} będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek [\sqrt{2},\sqrt{5}). Wówczas
\bigcap {\mathfrak A}=[\sqrt{2},\sqrt{5}].

[edytuj] Własności

[edytuj] Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą następujące równości:

  • \bigcap \{ A\} = A =A\cap A,
  • \bigcap \{ A, B\} = A \cap B,
  • (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)     (łączność),
  • A \cap B = B \cap A     (przemienność),
  • (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C) oraz (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego,
  • C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B) (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • A\subseteq B wtedy i tylko wtedy, gdy A\cap B = A.

[edytuj] Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech \{A_i:i\in I\}, \{B_i:i\in I\} oraz \{ C_{j,k}:j\in J\ \wedge\ k\in K\} będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów I,J,K są niepuste. Niech D będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

  • \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)=\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcap\limits_{i\in I} B_i
  • \bigcap\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcap\limits_{i\in I} B_i\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)
  • D\cap \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap D)
  • D\cup \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup D)
  • D\setminus \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} D\setminus A_i
  • \bigcap\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcap\limits_{k\in K}\bigcap\limits_{j\in J} C_{j,k}
  • \bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech {\mathfrak A} będzie niepustą rodziną zbiorów. Wówczas

  • \bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\}.

[edytuj] Przekrój a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji f : X\longrightarrow Y, dowolnej rodziny indeksowanej \{A_i:i\in I\} podzbiorów zbioru X oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej \{B_j:j\in J\} podzbiorów zbioru Y, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  • \bigcap \{f^{-1}[B_j]: j\in J\} = f^{-1}[\bigcap\limits_{j\in J} B_j] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
  • f[\bigcap\limits_{i\in I} A_i]\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} f[A_i] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

[edytuj] Zbiór uniwersalny

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru uniwersalnego U, oraz {\mathcal P}({\mathbf U}) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru U, to

({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\emptyset,{\mathbf U})

jest ciałem zbiorów a więc algebrą Boole'a (algebra ta jest zupełna). Wówczas U jest elementem neutralnym operacji przekroju.

Jeśli wszystkie rozważania są ograniczone do elementów zbioru U, to można rozważać przekrój pustej rodziny zbiorów. Wówczas \bigcap\emptyset czy też \bigcap\limits_{i\in \emptyset} A_i zawierają te elementy zbioru U które należą do wszystkich zbiorów z \emptyset=\{A_i:i\in \emptyset\}. Zatem

\bigcap\emptyset=\bigcap\limits_{i\in \emptyset} A_i = {\mathbf U}.

Jednak w standardowej teorii mnogości nie mamy zbioru uniwersalnego i musielibyśmy zaakceptować że

\bigcap\emptyset=\bigcap\limits_{i\in \emptyset} A_i = {\mathbf V} jest klasą wszystkich zbiorów.

Nawet w formalizacjach teorii mnogości dopuszczających użycie klas nie byłoby z tego wiele pożytku, bowiem nie można w nich mówić o strukturze ({\mathcal P}({\mathbf V}),\cup,\cap,\setminus,\emptyset,{\mathbf V}). Z tego powodu matematycy zastrzegają że rozważamy jedynie przekroje rodzin niepustych i np. Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski[1] piszą

natomiast zapis \bigcap\limits_{i\in \emptyset}A_i w ogóle nie ma sensu.

[edytuj] Zobacz też

Wikibooks

[edytuj] Przypisy

  1. ↑ Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. ISBN 83-01-14415-7. 
Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Przekr%C3%B3j_zbior%C3%B3w”