Przekształcenie antyliniowe

Przekształcenie antyliniowe (przekształcenie półliniowe) – rodzaj przekształcenia między zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

Definicja

Niech $V$ oraz $W$ będą dowolnymi zespolonymi przestrzeniami liniowymi. Przekształcenie $f: V \to W$ nazywamy przekształceniem antyliniowym (przekształceniem półliniowym), gdy

$f(ax+by) = \overline a f(x) + \overline b f(y)$

dla każdego $a, b \in \mathbb C$ oraz $x, y \in V$.

Uwagi

• Złożenie dwóch odwzorowań antyliniowych jest zespolonym odwzorowaniem liniowym.
• Odwzorowanie antyliniowe $f\colon V \to W$ może być równoważnie opisane jako $\overline f\colon V \to \overline W$, czyli przekształcenie przestrzeni liniowej $V$ w sprzężoną przestrzeń liniową zespoloną $\overline W$.

Przykład

Niech $H_1, H_2$ będą zespolonymi przestrzeniami Hilberta. Jeżeli $T_1,T_2\colon H_1\to H_2$ są ciągłymi i liniowymi operatorami oraz $a,b \in\mathbb{C}$, to

$(a T_1+ bT_2)^\star =\overline{a}T_1^\star+ \overline{b}T_2^\star$,

gdzie $T_i^\star$ jest operatorem sprzężonym z operatorem $T_i, \;i\in\{1,2\}$. Zatem sprzężenie hermitowskie ciągłych i liniowych operatorów przestrzeni Hilberta jest przekształceniem antyliniowym.

Zobacz też

• sprzężenie zespolone
• forma półtoraliniowa