Przestrzeń (matematyka)

Hierarchia przestrzeni (od szczególnych do bardziej ogólnych): skalarna (niebieska), unormowana (zielona), metryczna (żółta), topologiczna (czerwona).

Przestrzeń – zbiór „nadrzędny”, który zawiera inne zbiory, rozważane np. w danym dziale analizy matematycznej. Także: synonim pojęcia struktury matematycznej w celu skrócenia wypowiedzi.

Dodatkowe określenie (np. przestrzeń ilorazowa) wskazuje na typ elementów zbioru oraz rodzaj zdefiniowanych na nim relacji i działań. Niektóre przestrzenie (np. Banacha i Hilberta) mogą opierać się na tym samym zbiorze, różniąc się jedynie działaniami.

Przestrzenie matematyczne mogą tworzyć hierarchię, gdzie dany typ przestrzeni posiada, oprócz cech właściwych sobie, także wszystkie cechy typu przestrzeni, z której się wywodzi. Np. wszystkie przestrzenie unitarne (z iloczynem skalarnym) są również unormowanymi przestrzeniami wektorowymi (ale nie odwrotnie – dlatego mamy hierarchię) ponieważ iloczyn skalarny $\langle x,x\rangle$ indukuje normę $\left\|x\right\|$ wg wzoru:

$\left\|x\right\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

W węższym znaczeniu przestrzeń to, obok punktu, prostej oraz płaszczyzny jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii absolutnej i geometrii euklidesowej.

Zobacz też

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń euklidesowa
• przestrzeń funkcyjna
• przestrzeń Hausdorffa
• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń ilorazowa
• przestrzeń kartezjańska
• przestrzeń liniowa
• przestrzeń metryczna
• przestrzeń mierzalna
• przestrzeń ośrodkowa
• przestrzeń probabilistyczna
• przestrzeń spójna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń trójwymiarowa
• przestrzeń wektorowa
• przestrzeń zupełna
• przestrzeń zwarta
• podprzestrzeń
• półprzestrzeń
• przestrzeń (ujednoznacznienie)

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.