Przestrzeń Aleksandrowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń Aleksandrowa - przestrzeń topologiczna dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą "przestrzenie dyskretne"[1].

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną, to następujące warunki są równoważne:

  1. X jest przestrzenią Aleksandrowa,
  2. Suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w X jest zbiorem domkniętym,
  3. Dla każdego punktu x\in X istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) jego otoczenie otwarte,
  4. Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu x\in X jest domknięty na dowolne przekroje,
  5. Operacja wnętrza na X jest rozdzielna względem dowolnych przekrojów,
  6. Operacja domknięcia na X jest rozdzielna względem dowolnych sum mnogościowych,
  7. Istnieje taki praporządek \leqslant na X, że zbiór U\subseteq X jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy x\leqslant y implikuje y\in U dla każdych x\in U, y\in X.
  8. Istnieje taki praporządek \leqslant na X, że zbiór U\subseteq X jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy x\geqslant y implikuje y\in U dla każdych x\in U, y\in X.
  9. Istnieje taki praporządek \leqslant na X, że zbiór U\subseteq X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy x\leqslant y implikuje y\in U dla każdych x\in U, y\in X.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\mathcal{B}=\{[-r,\, r]\colon\, r\geq 0\}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Paweł Aleksandrow, Diskrete Räume, Mat. Sb. (N.S.) 2 (1937), ss. 501-518

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Peter T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge University Press (1982)