Przestrzeń Baire'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń Baire'a to termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

Własność przestrzeni topologicznych[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że X jest przestrzenią Baire'a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów X jest gęstym podzbiorem X.

Niektórzy autorzy używają zwrotu X ma własność Baire'a (zamiast "X jest przestrzenią Baire'a"). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire'a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

Szczególna przestrzeń topologiczna[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Nazwa przestrzeń Baire'a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech {\mathbb N}^{\mathbb N} będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z {\mathbb N} w {\mathbb N}. Zbiór ten może być traktowany jako produkt \prod\limits_{i=1}^\infty {\mathbb N} przeliczalnie wielu kopii zbioru {\mathbb N}. Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze \prod\limits_{i=1}^\infty {\mathbb N} możemy wprowadzić topologię produktową \tau_B. Przestrzeń topologiczna ({\mathbb N}^{\mathbb N},\tau_B) jest nazywana przestrzenią Baire'a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire'a jest często oznaczana przez \omega^\omega (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez \omega). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire'a jest oznaczana przez {\mathcal N}. To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń Baire'a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych f,g\in {\mathcal N} kładziemy n(f,g)=\min\{n\in {\mathbb N}:f(n)\neq g(n)\}. Definiujemy

d(f,g)=0 jeśli f=g oraz d(f,g)=2^{-n(f,g)} w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić że d jest metryką zupełną na zbiorze {\mathbb N}^{\mathbb N} generującą topologię \tau_B.
  • {\mathcal N}\times{\mathcal N} jest homeomorficzne z {\mathcal N}. I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni {\mathcal N} jest homeomorficzny z {\mathcal N}.
  • Przestrzeń {\mathcal N} jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni {\mathbb R}).
  • Przestrzeń {\mathcal N} jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
  • W dodatku do struktury topologicznej, {\mathcal N} ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację \leqslant^* na {\mathcal N} przez

f\leqslant^* g wtedy i tylko wtedy gdy \big(\exists N\in {\mathbb N}\big)\big(\forall n\geqslant N\big)(f(n)\leqslant g(n)\big)

Wówczas \leqslant^* jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej {\mathcal N}. Np liczba dominująca {\mathfrak d} występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów {\mathcal N} potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]