Przestrzeń Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Hausdorffa – w topologii wprowadzony przez Feliksa Hausdorffa rodzaj przestrzeni topologicznej o porządnych właściwościach. Ta naturalna własność była początkowo postulowana w definicji przestrzeni topologicznej, jednak wraz z rozwojem teorii wydzielono ją jako jeden z możliwych „aksjomatów oddzielania” nakładanych na abstrakcyjną przestrzeń topologiczną (zob. Przykłady). Z tego powodu o przestrzeniach Hausdorffa mówi się też, iż spełniają aksjomat „\scriptstyle T_2” bądź, według innej klasyfikacji, aksjomat „\scriptstyle R_1”; dla zwięzłości określa się je również jako „przestrzenie \scriptstyle T_2” (bądź „\scriptstyle R_1”).

Punkty \scriptstyle x, yrozdzielone przez ich otoczenia otwarte \scriptstyle U, V.

Przestrzeń topologiczną \scriptstyle X nazywa się przestrzenią Hausdorffa, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych jej punktów \scriptstyle x, y można wskazać ich rozłączne otoczenia \scriptstyle U, V, tzn. takie rozłączne zbiory otwarte tej przestrzeni, które spełniałyby \scriptstyle x \in U oraz \scriptstyle y \in V.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych spełnia własność Hausdorffa, w szczególności są to przestrzenie: liczb rzeczywistych z topologią naturalną, ogólniej przestrzenie euklidesowe i czy przestrzenie metryczne.

Każda przestrzeń regularna (\scriptstyle T_3) jest przestrzenią Hausdorffa (\scriptstyle T_2), lecz niekoniecznie na odwrót: przykładem może być przedział jednostkowy \scriptstyle X = [0,1] z topologią otrzymaną jako rozszerzenie topologii naturalnej (tzn. prostej rzeczywistej) o zbiór \scriptstyle [0, 1] \setminus \left\{\frac{1}{n}\colon n = 2, 3, 4, \dots\right\}.

Podobnie każda przestrzeń \scriptstyle T_2 jest przestrzenią \scriptstyle T_1, choć niewykluczona jest sytuacja odwrotna – przykładami mogą być zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory o skończonych dopełnieniach, czy analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń \scriptstyle X jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna \{\scriptstyle (x, x)\colon x\in X\displaystyle\} jest zbiorem domkniętym w przestrzeni produktowej \scriptstyle X \times X.
  • Niech \scriptstyle f, g\colon X \to Y będą przekształceniami ciągłymi dowolnej przestrzeni topologicznej \scriptstyle X w przestrzeń Hausdorffa \scriptstyle Y. Wówczas zbiór \{\scriptstyle x \in X\colon f(x) = g(x)\displaystyle\} argumentów, na którym wartości tych funkcji są równe, jest domknięty w \scriptstyle X. W szczególności, jeśli wykresy \scriptstyle f, g pokrywają na zbiorze gęstym przestrzeni \scriptstyle X, to są one równe.
  • Ciągi zbieżne w przestrzeni Hausdorffa mają wyłącznie jedną granicę, tzn. granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.
  • Własność „hausdorffowości” przestrzeni jest dziedziczna, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.
  • Przestrzeń produktowa przestrzeni Hausdorffa również jest Hausdorffa.
  • Zwarte podprzestrzenie przestrzeni Hausdorffa są domknięte (istnieją przestrzenie \scriptstyle T_1 nie mające tej własności).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]