Przestrzeń Hewitta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń Hewitta (albo Q-przestrzeń; w literaturze anglojęzycznej realcompact space) - przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym produktu \kappa kopii prostej rzeczywistej dla pewnej liczby kardynalnej \kappa. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka, Edwina Hewitta, który rozważał tego typu przestrzenie w swojej pracy z roku 1948[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń Tichonowa X jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje taka przestrzeń Tichonowa Y, że

  1. istnieje zanurzenie homeomorficzne r\colon X\to Y takie, że r(X)\neq \mbox{cl}_Yr(X)=Y,
  2. dla każdego przekształcenia f\colon X\to \mathbb{R} istnieje przekształcenie g\colon Y\to \mathbb{R} takie, że g\circ r = f.

Z definicji przestrzeni Hewitta wynikają następujące własności:

  • domknięty podzbiór przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
  • produkt dowolnej rodziny przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
  • granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
  • przekrój rodziny podprzestrzeni będących przestrzeniami Hewitta, pewnej przestrzeni topologicznej jest przestrzenią Hewitta.

Inną charakteryzację tej klasy przestrzeni można podać w języku uzwarceń Čecha-Stone'a:

  • przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x_0\in \beta X\setminus X istnieje funkcja f\colon \beta X\to \mathbb{R} taka, że f(x_0)=0 oraz f(x)>0 dla x\in X.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest następujący fakt:

Twierdzenie Hewitta[edytuj | edytuj kod]

Istnieje charakteryzacja klasy przestrzeni Hewitta w języku dwuwartościowych miar Baire'a. Jest to tzw. twierdzenie Hewitta:

  • Przestrzeń Tichonowa jest przetrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy każda miara \mu\colon \mathcal{B}(X)\to \{0,1\} jest miarą Diraca,

gdzie \mathcal{B}(X) oznacza rodzinę podzbiorów X o własności Baire'a. Nie każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta - np. miara Dieudonnégo, określona na \mathcal{B}(\omega_1), nie jest miarą Diraca. Ponadto, przestrzeń \{0,1\}^\kappa jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy \kappa jest liczbą niemierzalną.

Przypisy

  1. Hewitt E., Rings of real-valued continuous functions I, Transactions of the American Mathematical Society 64 (1948) ss. 45-99

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Engelking R., Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1976, ss. 266-274.