Przestrzeń Lindelöfa

Przestrzenie Lindelöfa - przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne. Istnieją pewne rozbieżności co do stosowania nazwy przestrzeń Lindelöfa - niektórzy autorzy (np. Engelking) wymagają dodatkowo by przestrzeń była ponadto regularna. Nazwa pojęcia została wprowadzona w 1929 roku przez Aleksandrowa i Urysohna i pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własność.

Przykłady

• Zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią oraz z topologią strzałki jest przestrzenią Lindelöfa.
• Płaszczyzna Niemyckiego jest przestrzenią ośrodkową, która nie jest przestrzenią Lindelöfa.

Własności

• Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności. Np. wspomniana wyżej prosta z topologią strzałki nie ma bazy przeliczalnej.
• Suma rodziny niepustych przestrzeni topologicznych $\{X_s\colon s\in S\}$ jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest przeliczalny oraz każdy składnik $X_s$ jest przestrzenią Lindelöfa.
• W każde pokrycie otwarte regularnej przestrzeni Lindelöfa można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone.
• Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna. Produkt dwóch kopii prostej z topologią strzałki nie jest przestrzenią normalną, a więc produkt dwóch (lub więcej) przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa. Istnieją modele teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru) w których produkt dwóch dowolnych przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa.
• Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa; na przykład, każda przestrzeń topologiczna jest otwartą podprzestrzenią swojej kompaktyfikacji jednopunktowej (uzwarcenia w sensie Aleksandrowa).
• Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa.
• Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
• Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności oraz wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.
• Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią Lindelöfa.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 242-244.