Przestrzeń Lindelöfa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzenie Lindelöfa - przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne. Istnieją pewne rozbieżności co do stosowania nazwy przestrzeń Lindelöfa - niektórzy autorzy (np. Engelking) wymagają dodatkowo by przestrzeń była ponadto regularna. Nazwa pojęcia została wprowadzona w 1929 roku przez Aleksandrowa i Urysohna[1] i pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własność[2].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności. Np. wspomniana wyżej prosta z topologią strzałki nie ma bazy przeliczalnej.
  • Suma rodziny niepustych przestrzeni topologicznych \{X_s\colon s\in S\} jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest przeliczalny oraz każdy składnik X_s jest przestrzenią Lindelöfa.
  • W każde pokrycie otwarte regularnej przestrzeni Lindelöfa można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone.
  • Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna. Produkt dwóch kopii prostej z topologią strzałki nie jest przestrzenią normalną, a więc produkt dwóch (lub więcej) przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa. Istnieją modele teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru) w których produkt dwóch dowolnych przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa[3].
  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa.
  • Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa; na przykład, każda przestrzeń topologiczna jest otwartą podprzestrzenią swojej kompaktyfikacji jednopunktowej (uzwarcenia w sensie Aleksandrowa).
  • Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa.
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
  • Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności oraz wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.
  • Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią Lindelöfa.

Przypisy

  1. P. Alexandroff, P. Urysohn, Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, (1929), s. 93.
  2. E. Lindelöf, Sur quelques points de la théorie des ensembles. C.R. Acad. Paris 137 (1903), ss. 697-700.
  3. H. Herrlich, Products of Lindelöf T2-spaces are Lindelöf – in some models of ZF. Comment. Math. Univ. Carolinae 43, (2002), ss. 319–333.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]