Przestrzeń Sobolewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Sobolewaprzestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni L^p, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do L^p. Przestrzenie Sobolewa są szeroko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech m i n będą ustalonymi liczbami naturalnymi, p będzie liczbą z przedziału [1, ∞] oraz\Omega będzie otwartym podzbiorem \mathbb{R}^{n}. Przestrzenią Sobolewa W^{m, p}(\Omega) nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji funkcji u \in L^{p}(\Omega) dla których  D^{\alpha}u \in L^{p}(\Omega) , gdzie  \alpha = (\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})\in \mathbb{N}^{n} jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

 | \alpha | = \alpha_{1} + \dots + \alpha_{n} \le m ,

oraz symbol  D^{\alpha}u oznacza słabą pochodną funkcji u rzędu \alpha.

Przestrzeń W^{m, p}(\Omega) jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

 \| u \| _{W^{m, p}} = (\sum_{| \alpha | \le m} \| D^{\alpha}u \| ^{p}_{L^{p}})^{\frac{1}{p}} ,

w przypadku 1 ≤ p < ∞ oraz:

 \| u \| _{W^{m, p}} =  \sum_{| \alpha | \le m} \| D^{\alpha} u \| _{L^{\infty}}

w przypadku p = ∞.

Własności[edytuj | edytuj kod]

 \langle u, v \rangle_{H^{m}} = \sum_{| \alpha | \le m} \langle D^{\alpha}u , D^{\alpha}v\rangle _{L^{2}} .

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa W^{m,p}(\Omega) dla 1 ≤ p < ∞ jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na \Omega (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech N oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od m, tzn.

N=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~1,

oraz L^p_N=L^p(\Omega)\times \ldots \times L^p(\Omega). Przestrzeń L^p_N jest przestrzenią Banacha z normą

\|(u_1, \ldots, u_N)\|=\left(\sum_{j=1}^N(\|u_j\|_{L^p})^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Przestrzeń sprzężona (W^{m,p}(\Omega))^* jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji T na \Omega, dla których

T=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~(-1)^{|\alpha|}D^\alpha T_{v_\alpha},

dla pewnego v=(v_\alpha)_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m} \in L_N^q oraz q jest wykładnikiem sprzężonym do p. Ponadto,

\|T\|_Y=\inf \|v\|_{L^q_N},

gdzie kres brany jest po wszystkich v\in L^q_N, dla których T można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni (W^{m,p}(\Omega))^* dla 1 ≤ p < ∞: Przestrzeń (W^{m,p}(\Omega))^* można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

L^q(\Omega):=L^q_\sim

wyposażonej w normę

\|v\|_{L^q_\sim}=\sup\{\langle u,v\rangle\colon\, u\in W^{m,p}(\Omega),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega)} \leqslant 1\},

tzn.

(W^{m,p}(\Omega))^*=\overline{L^q_\sim}

gdzie q jest wykładnikiem sprzężonym do p.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.