Przestrzeń T1

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń T_1 – termin topologiczny odnoszący się do jednego ze słabszych aksjomatów oddzielania. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też przestrzeniami Frécheta, ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w innym znaczeniu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest T_1, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów x, y przestrzeni X istnieje taki zbiór otwarty U \subseteq X, że x \in U, ale y \notin U.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń X jest przestrzenią T_1 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jednopunktowy podzbiór X jest domknięty.

Przykłady i własności[edytuj | edytuj kod]

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest T_1, zwykle przestrzenie nie będące T_1 uważa się za „bardzo patologiczne”. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne. Każda przestrzeń dyskretna jest T_1; w szczególności każda skończona przestrzeń T_1 jest dyskretna.
  • Każda przestrzeń T2 jest przestrzenią T_1.
  • Istnieją przestrzenie T_1, które nie są T_2. Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty \emptyset i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. \mathbb R \setminus \{0\}, \mathbb R \setminus \{1,2,3,4,5\}) jest przestrzenią T1, ale nie T2; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią Zariskiego, czyli topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
  • Każda przestrzeń T_1 jest przestrzenią T0, lecz istnieją przestrzenie T_0, które nie są T_1. Na przykład zbiór X=\{a,b\} wyposażony w topologię \tau_0=\big\{\emptyset,X,\{a\}\big\} (przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa) jest przestrzenią T_0, ale nie T_1.
  • Podzbiór przestrzeni T_1 traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T_1. Własność być przestrzenią T_1 jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T_1 jest przestrzenią T_1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]