Przestrzeń T4

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń normalna i przestrzeń T4 to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Mówi się, że w przestrzeni topologicznej X rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych E, FX można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte U, VX że

EU i FV.
Zbiory domknięte E i F, przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U i V, przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że zbiory domknięte E, F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U, V.

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią normalną (albo T4) wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią T1 w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa[edytuj | edytuj kod]

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T4 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T4.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T4 jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\}
nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie \beta {\mathbb N} jest uzwarceniem Čecha-Stone'a dyskretnej przestrzeni {\mathbb N} liczb naturalnych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli X jest przestrzenią normalną i E, FX są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła
F:X\longrightarrow [0,1]
że f(x) = 0 dla xE oraz f(x) = 1 dla xF.
Jeśli X jest przestrzenią normalną, FX jest jej podzbiorem domkniętym i
f:F\longrightarrow{\mathbb R}
jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła
g:X\longrightarrow {\mathbb R}
przedłużająca f (tzn. g(x) = f(x) dla wszystkich xF).

Produkty przestrzeni normalnych[edytuj | edytuj kod]

Prosta Sorgenfreya X jest przestrzenią normalną ale jej kwadrat X × X nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[3]. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt ω2ω1 jest przestrzenią normalną.

Przypisy

  1. K. Kuratowski, Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 121.
  2. R. Engelking, General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 40. ISBN 3-88538-006-4
  3. A.H. Stone, Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 977–982.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]