Przestrzeń Tichonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej X punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego podzbioru F przestrzeni X i dowolnego punktu x\in X\setminus F można znaleźć taką funkcję ciągłą f\colon X\longrightarrow [0,1], że f(x)=0 i f(y)=1 dla wszystkich punktów y ze zbioru F.

Przestrzeń topologiczna X nazywa jest przestrzenią Tichonowa, gdy X jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

Dyskusja nazewnictwa[edytuj | edytuj kod]

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
  • przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią T_{3\frac{1}{2}} i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

Płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, a więc własność bycia przestrzenią T jest istotnie różna od własności bycia przestrzenią T4.

Znane są przykłady przestrzeni T3 które nie są całkowicie regularne. Na przykład, podzbiór

M=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y\geqslant 0\}\cup\{(0,-1)\}

płaszczyzny z topologią wprowadzoną przez bazę otoczeń {\mathcal B}(x,y) określoną dla każdego elementu (x,y) zbioru M i opisaną warunkami:

  • jeśli y>0, to {\mathcal B}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},
  • jeśli y=0, to {\mathcal B}(x,y) składa się ze wszystkich zbiorów postaci
\{(x,v)\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup\{(x+v,v)\in {\mathbb R}^2:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B, gdzie B jest dowolnym skończonym podzbiorem zbioru M,
  • {\mathcal B}(0,-1)=\{U_i:i=1,2,3,\ldots\}, gdzie
U_i=\{(0,-1)\}\cup\{(u,v)\in {\mathbb R}^2:i\leqslant u\}.

jest przestrzenią T3, która jest przestrzenią T.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T3.
  • Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T jest przestrzenią T.
  • Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źrodeł zainteresowania przestrzeniami T, jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

Przypisy

  1. Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 120.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 39. ISBN 3-88538-006-4

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]