Przestrzeń afiniczna

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: przestrzeń afiniczna w ujęciu geometrii syntetycznej.

Definicja intuicyjna:
Przestrzeń afiniczna to przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek.

Spis treści

1 Wprowadzenie geometryczne
2 Definicja
3 Struktura afiniczna przestrzeni liniowej
4 Baza i niezależność
5 Sympleksy
6 Podprzestrzeń afiniczna
7 Przestrzeń euklidesowa
8 Uogólnienia
9 Zobacz też

Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń fizyczna (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale zawiera również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć wyróżnionej tak pierwszej, jak i drugiej z nich.

[edytuj] Wprowadzenie geometryczne

Zobacz też: geometria afiniczna.

Historycznie pojęcie przestrzeni afinicznej ma swój początek w odkryciu wielu nowych całkowicie spójnych geometrii różniących się od euklidesowej aksjomatem równoległości. Zakwestionowanie pojęć długości i kąta, które zasadzone są na pojęciu odległości, doprowadziło do przedefiniowania przestrzeni euklidesowej poprzez usunięcie z definicji wspomnianych pojęć i powiązanych z nimi elementów. Wynikiem tej operacji było powstanie geometrii afinicznej, w której struktura algebraiczna przestrzeni okazała się mieć własności podobne do przestrzeni liniowej, która jako taka została zdefiniowana później (dając tym samym początek algebrze liniowej).

W geometrii syntetycznej przestrzeń afiniczna definiowana jest jako struktura składająca się z:

zbioru punktów,
zbioru prostych,
relacji incydencji wskazującej relację przynależności punktów względem prostych,
relacji równoległości mówiącej o tym, które proste są równoległe;

tak, że spełniony jest pewien zestaw aksjomatów, w tym sławny aksjomat równoległości Euklidesa.

Zgodnie z duchem programu erlangeńskiego Feliksa Kleina geometria afiniczna może być określona jako zachowująca niezmienniki przekształceń afinicznych (pokrewieństw, powinowactw). Niżej przedstawiony zostanie opis abstrakcyjnej przestrzeni afinicznej wykorzystujący metody algebry liniowej.

[edytuj] Definicja

Niech $A$ będzie zbiorem, którego elementy nazywane będą punktami, a $V$ będzie przestrzenią liniową nad ustalonym ciałem; nazwy elementów wspomnianych zbiorów nie ulegają zmianie: elementy ciała nazywane są skalarami, a elementy przestrzeni liniowej – wektorami.

Przestrzenią afiniczną nazywa się parę $(A, V)$ wyposażoną w działanie

$A \times V \to A\colon (a, \mathbf v) \mapsto a + \mathbf v$

spełniające aksjomaty:

$(a + \mathbf v_1) + \mathbf v_2 = a + (\mathbf v_1 + \mathbf v_2)$ dla dowolnego $a \in A$ oraz $\mathbf v_1, \mathbf v_2 \in V$
$a + \mathbf 0 = a$ dla każdego $a \in A$
dla dowolnych $a, b \in A$ istnieje tylko jeden wektor $\mathbf v \in V$ taki, że $b = a + \mathbf v$ .

Wektor $\mathbf v$ łączący punkty $a$ oraz $b$ (w podanej kolejności) z ostatniego aksjomatu bywa zwykle oznaczany symbolem $\overrightarrow{ab}$ , niekiedy korzysta się też po prostu z zapisu $b - a$ . Zwykle przestrzeń afiniczną opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary; przy podanych oznaczeniach symbolem $A$ . Przestrzeń $V$ nosi wtedy nazwę przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzeni wektorów swobodnych.

Wymiarem przestrzeni afinicznej $(A, V)$ nazywa się wymiar przestrzeni liniowej $V$ .

Równoważnie przestrzeń afiniczną można określić za pomocą działania odwrotnego (względem ustalonego punktu $a \in A$ ) do określonego w definicji,

$A \times A \to V\colon (a, b) \mapsto \overrightarrow{ab}$ ,

które dla ustalonego $b \in B$ jest bijekcją postaci

$A \to V\colon a \mapsto \overrightarrow{ab}$

i w której dla dowolnych $a, b, c \in A$ zachodzi

$\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}$ .

[edytuj] Struktura afiniczna przestrzeni liniowej

Każdą przestrzeń liniową $V$ można traktować jak przestrzeń afiniczną, o ile przyjmie się $A = V$ , wtedy termin punkt zastępuje się zwykle całkowicie terminem wektor. Działanie dodawania wektorów do punktów określa się wówczas jako dodawanie elementów przestrzeni $V$ :

$V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf w + \mathbf v$ .

Zgodnie z definicją równoważną, w której dwóm punktom przypisuje się wektor, przestrzeń liniową można przekształcić w afiniczną dodając do niej działanie

$V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf v - \mathbf w$ .

Tłumaczy ono pochodzenie notacji korzystającej z odejmowania punktów w pierwszej definicji przestrzeni afinicznej.

[edytuj] Baza i niezależność

Układem współrzędnych afinicznych bądź bazowym lub krótko: bazą przestrzeni afinicznej nazywa się ciąg $(o; \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n)$ , gdzie $o$ jest ustalonym punktem ze zbioru $A$ nazywanym punktem bazowym lub początkiem układu, a $\{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\}$ jest bazą przestrzeni $V$ . Współrzędne punktu $a \in A$ to współrzędne wektora $\overrightarrow{oa}$ względem bazy $(\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n)$ .

Układ punktów $a_0, a_1, \dots, a_n \in A$ nazywa się afinicznie lub punktowo niezależnym, jeżeli wektory $\overrightarrow{a_0 a_1}, \overrightarrow{a_0 a_2}, \dots, \overrightarrow{a_0 a_n} \in V$ są liniowo niezależne. W ten sposób $n + 1$ punktów przestrzeni afinicznej rozpina $n$ -wymiarową przestrzeń liniową.

Dla każdego $i \in \{0, 1, \dots, n\}$ wektory $\overrightarrow{a_i a_0}, \overrightarrow{a_i a_1}, \dots, \overrightarrow{a_i a_{i-1}}, \overrightarrow{a_i a_{i+1}}, \dots, \overrightarrow{a_i a_n}$ stanowią układ liniowo niezależny. O ile dany punkt $a \in A$ daje się zapisać jako kombinację afiniczną układu afinicznie niezależnego, to można to zrobić w dokładnie jeden sposób (współrzędne jednoznacznie identyfikują punkt względem takiego układu).

[edytuj] Sympleksy

Osobny artykuł: sympleks (matematyka).

Kombinację wypukłą układu afinicznie niezależnego $\{x_0, x_1, \dots, x_k\}$ nazywa się $k$ -wymiarowym sympleksem o wierzchołkach $x_0, x_1, \dots, x_k$ . Dowolny podukład $\{x_{i_0}, x_{i_1}, \dots, x_{i_m}\}$ układu $\{x_0, x_1, \dots, x_k\}$ również określa sympleks, który nazywa się wówczas $m$ -wymiarową ścianą powyższego sympleksu.

[edytuj] Podprzestrzeń afiniczna

Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej $(A, V)$ nazywa się parę $(P, U)$ taką, że $U$ jest podprzestrzenią liniową $V$ , a $P$ jest niepustym podzbiorem $A$ , która sama jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że dla $(P, U)$ określonej wyżej spełnione są warunki:

$p + \mathbf u$ dla wszystkich $p \in P, \mathbf u \in U$ ,
$\overrightarrow{pq}$ dla wszystkich $p, q \in P$ .

Tak jak przestrzeń afiniczną, jej podprzestrzeń opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary. Przestrzeń $U$ jest w tym wypadku jednoznacznie wyznaczona przez zbiór $P$ i nosi nazwę przestrzeni kierunkowej danej podprzestrzeni afinicznej.

[edytuj] Przestrzeń euklidesowa

Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

Przestrzeń $(E, V)$ nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się przestrzenią euklidesową, jeżeli $V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową wyposażoną w iloczyn skalarny $\langle \cdot, \cdot \rangle$ . Iloczyn skalarny wyznacza metrykę

$d(a, b) = \left|\overrightarrow{ab}\right|$ , gdzie $|\mathbf v| = \sqrt{\langle \mathbf v, \mathbf v \rangle}$ .

Dodatkowo określa się odległość między podprzestrzeniami $P, Q \subseteq E$ wzorem

$d(P, Q) = \inf_\begin{smallmatrix}p \in P,\\ q \in Q\end{smallmatrix}~d(p, q)$ .

Kąt między podprzestrzeniami definiuje się jako kąt między ich przestrzeniami kierunkowymi. Te, które tworzą ze sobą kąt prosty nazywa się prostopadłymi (ortogonalnymi).

[edytuj] Uogólnienia

Dość zwięzłą definicją przestrzeni afinicznej jest następująca jej charakteryzacja: przestrzeń afiniczna to zbiór punktów $A$ z działającą na nim regularnie (równoważnie: ściśle przechodnio albo przechodnio w sposób wolny) grupą addytywną przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ . Przestrzeń afiniczną można określić analogicznie poprzez zastąpienie przestrzeni liniowej modułem. Działanie na dowolnej grupie prowadzi do pojęcia sterty (ang. heap, ros. груда).

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
przestrzeń rzutowa,
przekształcenie afiniczne,
algebra liniowa (struktura),
grupa afiniczna,
sterta.

Przestrzeń afiniczna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Wprowadzenie geometryczne

[edytuj] Definicja

[edytuj] Struktura afiniczna przestrzeni liniowej

[edytuj] Baza i niezależność

[edytuj] Sympleksy

[edytuj] Podprzestrzeń afiniczna

[edytuj] Przestrzeń euklidesowa

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Zobacz też

Widok

Osobiste

Szukaj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla edytorów

Drukuj lub eksportuj

Narzędzia

W innych językach