Przestrzeń afiniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: przestrzeń afiniczna w ujęciu geometrii syntetycznej.

Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń fizyczna (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale posiada również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć tak pierwszej, jak i drugiej z nich.

Wprowadzenie geometryczne[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: geometria afiniczna.

Historycznie pojęcie przestrzeni afinicznej ma swój początek w odkryciu wielu nowych całkowicie spójnych geometrii różniących się od euklidesowej aksjomatem równoległości. Zakwestionowanie pojęć długości i kąta, które zasadzone są na pojęciu odległości, doprowadziło do przedefiniowania przestrzeni euklidesowej poprzez usunięcie z definicji wspomnianych pojęć i powiązanych z nimi elementów. Wynikiem tej operacji było powstanie geometrii afinicznej, w której struktura algebraiczna przestrzeni okazała się mieć własności podobne do przestrzeni liniowej, która jako taka została zdefiniowana później (dając tym samym początek algebrze liniowej).

W geometrii syntetycznej przestrzeń afiniczna definiowana jest jako struktura składająca się z:

tak, że spełniony jest pewien zestaw aksjomatów, w tym sławny aksjomat równoległości Euklidesa.

Zgodnie z duchem programu erlangeńskiego Feliksa Kleina geometria afiniczna może być określona jako zachowująca niezmienniki przekształceń afinicznych (pokrewieństw, powinowactw). Niżej przedstawiony zostanie opis abstrakcyjnej przestrzeni afinicznej wykorzystujący metody algebry liniowej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A\; będzie zbiorem, którego elementy, zapisywane niżej pismem prostym (np. \mathrm a, \mathrm b\;), nazywane będą punktami, a V\; będzie przestrzenią liniową nad ustalonym ciałem; nazwy elementów wspomnianych zbiorów nie ulegają zmianie: elementy ciała, zapisywane pismem pochyłym (np. r, s\;), nazywane są skalarami, a elementy przestrzeni liniowej, zapisywane pismem półgrubym (np. \mathbf v, \mathbf w) – wektorami.

Przestrzenią afiniczną nazywa się parę (A, V)\; wyposażoną w działanie

A \times V \to A\colon (\mathrm a, \mathbf v) \mapsto \mathrm a + \mathbf v

spełniające aksjomaty:

  • (\mathrm a + \mathbf v_1) + \mathbf v_2 = \mathrm a + (\mathbf v_1 + \mathbf v_2) dla dowolnego \mathrm a \in A oraz \mathbf v_1, \mathbf v_2 \in V,
  • \mathrm a + \mathbf 0 = \mathrm a dla każdego \mathrm a \in A,
  • dla dowolnych \mathrm a, \mathrm b \in A istnieje tylko jeden wektor \mathbf v \in V taki, że \mathrm b = \mathrm a + \mathbf v.

Wektor \mathbf v łączący punkty \mathrm a oraz \mathrm b (w podanej kolejności) z ostatniego aksjomatu bywa zwykle oznaczany symbolem \overrightarrow\mathrm{ab}, niekiedy korzysta się też po prostu z zapisu \mathrm b - \mathrm a. Zwykle przestrzeń afiniczną opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary; przy podanych oznaczeniach symbolem A. Przestrzeń V nosi wtedy nazwę przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzeni wektorów swobodnych.

Wymiarem przestrzeni afinicznej (A, V)\; nazywa się wymiar przestrzeni liniowej V\;.

Równoważnie przestrzeń afiniczną można określić za pomocą działania odwrotnego (względem ustalonego punktu \mathrm a \in A) do określonego w definicji,

A \times A \to V\colon (\mathrm a, \mathrm b) \mapsto \overrightarrow\mathrm{ab},

które dla ustalonego b \in B jest bijekcją postaci

A \to V\colon \mathrm a \mapsto \overrightarrow\mathrm{ab}

i w której dla dowolnych \mathrm a, \mathrm b, \mathrm c \in A zachodzi

\overrightarrow\mathrm{ab} + \overrightarrow\mathrm{bc} = \overrightarrow\mathrm{ac}.

Struktura afiniczna przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

Z każdą przestrzenią liniową V jest związana przestrzeń afiniczna, o ile przyjmie się A = V, wtedy termin punkt zastępuje się zwykle całkowicie terminem wektor. Działanie dodawania wektorów do punktów określa się wówczas jako dodawanie elementów przestrzeni V:

V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf w + \mathbf v.

Zgodnie z definicją równoważną, w której dwóm punktom przypisuje się wektor, przestrzeń liniową można przekształcić w afiniczną dodając do niej działanie

V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf v - \mathbf w.

Tłumaczy ono pochodzenie notacji korzystającej z odejmowania punktów w pierwszej definicji przestrzeni afinicznej. Na ogół bada się przestrzenie afiniczne skończonego wymiaru.

Baza i niezależność[edytuj | edytuj kod]

Układem współrzędnych afinicznych bądź bazowym lub krótko: bazą przestrzeni afinicznej skończonego wymiaru nazywa się ciąg (\mathrm o; \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n), gdzie \mathrm o jest ustalonym punktem ze zbioru A nazywanym punktem bazowym lub początkiem układu, a \{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\} jest bazą przestrzeni V. Współrzędne punktu \mathrm a \in A to współrzędne wektora \overrightarrow\mathrm{oa} względem bazy (\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n).

Układ punktów \mathrm a_0, \mathrm a_1, \dots, \mathrm a_n \in A nazywa się afinicznie lub punktowo niezależnym, jeżeli wektory \overrightarrow{\mathrm a_0 \mathrm a_1}, \overrightarrow{\mathrm a_0 \mathrm a_2}, \dots, \overrightarrow{\mathrm a_0 \mathrm a_n} \in Vliniowo niezależne. W ten sposób n+1 punktów przestrzeni afinicznej rozpina n-wymiarową przestrzeń liniową.

Dla każdego i \in \{0, 1, \dots, n\} wektory \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_0}, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_1}, \dots, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_{i-1}}, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_{i+1}}, \dots, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_n} stanowią układ liniowo niezależny. O ile dany punkt \mathrm a \in A daje się zapisać jako kombinację afiniczną układu afinicznie niezależnego, to można to zrobić w dokładnie jeden sposób (współrzędne jednoznacznie identyfikują punkt względem takiego układu).

Podprzestrzeń afiniczna[edytuj | edytuj kod]

Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej (A, V) nazywa się parę (P, U) taką, że U jest podprzestrzenią liniową V, a P jest niepustym podzbiorem A, która sama jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że dla (P, U) określonej wyżej spełnione są warunki:

  • \mathrm p + \mathbf u \in P dla wszystkich \mathrm p \in P, \mathbf u \in U,
  • \overrightarrow\mathrm{pq} \in U dla wszystkich \mathrm p, \mathrm q \in P.

Tak jak przestrzeń afiniczną, jej podprzestrzeń opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary. Przestrzeń U jest w tym wypadku jednoznacznie wyznaczona przez zbiór P i nosi nazwę przestrzeni kierunkowej danej podprzestrzeni afinicznej.

Przestrzeń euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

Przestrzeń (E, V) nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się przestrzenią euklidesową, jeżeli V jest przestrzenią skończenie wymiarową wyposażoną w iloczyn skalarny \langle \cdot, \cdot \rangle. Iloczyn skalarny wyznacza metrykę

d(\mathrm a, \mathrm b) = \left|\overrightarrow\mathrm{ab}\right|, gdzie |\mathbf v| = \sqrt{\langle \mathbf v, \mathbf v \rangle}.

Dodatkowo określa się odległość między podprzestrzeniami P, Q \subseteq E wzorem

d(P, Q) = \inf_\begin{smallmatrix}\mathrm p \in P,\\ \mathrm q \in Q\end{smallmatrix}~d(\mathrm p, \mathrm q).

Kąt między podprzestrzeniami definiuje się jako kąt między ich przestrzeniami kierunkowymi. Te, które tworzą ze sobą kąt prosty nazywa się prostopadłymi (ortogonalnymi).

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Dość zwięzłą definicją przestrzeni afinicznej jest następująca jej charakteryzacja: przestrzeń afiniczna to zbiór punktów A\; z działającą na nim regularnie (równoważnie: ściśle przechodnio albo przechodnio w sposób wolny) grupą addytywną przestrzeni liniowej V\; nad ciałem K\;. Przestrzeń afiniczną można określić analogicznie poprzez zastąpienie przestrzeni liniowej modułem.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]