Przestrzeń afiniczna

Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń fizyczna (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale posiada również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć tak pierwszej, jak i drugiej z nich.

Wprowadzenie geometryczne

Historycznie pojęcie przestrzeni afinicznej ma swój początek w odkryciu wielu nowych całkowicie spójnych geometrii różniących się od euklidesowej aksjomatem równoległości. Zakwestionowanie pojęć długości i kąta, które zasadzone są na pojęciu odległości, doprowadziło do przedefiniowania przestrzeni euklidesowej poprzez usunięcie z definicji wspomnianych pojęć i powiązanych z nimi elementów. Wynikiem tej operacji było powstanie geometrii afinicznej, w której struktura algebraiczna przestrzeni okazała się mieć własności podobne do przestrzeni liniowej, która jako taka została zdefiniowana później (dając tym samym początek algebrze liniowej).

W geometrii syntetycznej przestrzeń afiniczna definiowana jest jako struktura składająca się z:

• zbioru punktów,
• zbioru prostych,
• relacji incydencji wskazującej relację przynależności punktów względem prostych,
• relacji równoległości mówiącej o tym, które proste są równoległe;

tak, że spełniony jest pewien zestaw aksjomatów, w tym sławny aksjomat równoległości Euklidesa.

Zgodnie z duchem programu erlangeńskiego Feliksa Kleina geometria afiniczna może być określona jako zachowująca niezmienniki przekształceń afinicznych (pokrewieństw, powinowactw). Niżej przedstawiony zostanie opis abstrakcyjnej przestrzeni afinicznej wykorzystujący metody algebry liniowej.

Definicja

Niech $A\;$ będzie zbiorem, którego elementy, zapisywane niżej pismem prostym (np. $\mathrm a, \mathrm b\;$), nazywane będą punktami, a $V\;$ będzie przestrzenią liniową nad ustalonym ciałem; nazwy elementów wspomnianych zbiorów nie ulegają zmianie: elementy ciała, zapisywane pismem pochyłym (np. $r, s\;$), nazywane są skalarami, a elementy przestrzeni liniowej, zapisywane pismem półgrubym (np. $\mathbf v, \mathbf w$) – wektorami.

Przestrzenią afiniczną nazywa się parę $(A, V)\;$ wyposażoną w działanie

$A \times V \to A\colon (\mathrm a, \mathbf v) \mapsto \mathrm a + \mathbf v$

spełniające aksjomaty:

• $(\mathrm a + \mathbf v_1) + \mathbf v_2 = \mathrm a + (\mathbf v_1 + \mathbf v_2)$ dla dowolnego $\mathrm a \in A$ oraz $\mathbf v_1, \mathbf v_2 \in V,$
• $\mathrm a + \mathbf 0 = \mathrm a$ dla każdego $\mathrm a \in A,$
• dla dowolnych $\mathrm a, \mathrm b \in A$ istnieje tylko jeden wektor $\mathbf v \in V$ taki, że $\mathrm b = \mathrm a + \mathbf v.$

Wektor $\mathbf v$ łączący punkty $\mathrm a$ oraz $\mathrm b$ (w podanej kolejności) z ostatniego aksjomatu bywa zwykle oznaczany symbolem $\overrightarrow\mathrm{ab},$ niekiedy korzysta się też po prostu z zapisu $\mathrm b - \mathrm a.$ Zwykle przestrzeń afiniczną opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary; przy podanych oznaczeniach symbolem $A.$ Przestrzeń $V$ nosi wtedy nazwę przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzeni wektorów swobodnych.

Wymiarem przestrzeni afinicznej $(A, V)\;$ nazywa się wymiar przestrzeni liniowej $V\;$.

Równoważnie przestrzeń afiniczną można określić za pomocą działania odwrotnego (względem ustalonego punktu $\mathrm a \in A$) do określonego w definicji,

$A \times A \to V\colon (\mathrm a, \mathrm b) \mapsto \overrightarrow\mathrm{ab},$

które dla ustalonego $b \in B$ jest bijekcją postaci

$A \to V\colon \mathrm a \mapsto \overrightarrow\mathrm{ab}$

i w której dla dowolnych $\mathrm a, \mathrm b, \mathrm c \in A$ zachodzi

$\overrightarrow\mathrm{ab} + \overrightarrow\mathrm{bc} = \overrightarrow\mathrm{ac}.$

Struktura afiniczna przestrzeni liniowej

Z każdą przestrzenią liniową $V$ jest związana przestrzeń afiniczna, o ile przyjmie się $A = V,$ wtedy termin punkt zastępuje się zwykle całkowicie terminem wektor. Działanie dodawania wektorów do punktów określa się wówczas jako dodawanie elementów przestrzeni $V$:

$V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf w + \mathbf v.$

Zgodnie z definicją równoważną, w której dwóm punktom przypisuje się wektor, przestrzeń liniową można przekształcić w afiniczną dodając do niej działanie

$V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf v - \mathbf w.$

Tłumaczy ono pochodzenie notacji korzystającej z odejmowania punktów w pierwszej definicji przestrzeni afinicznej. Na ogół bada się przestrzenie afiniczne skończonego wymiaru.

Baza i niezależność

Układem współrzędnych afinicznych bądź bazowym lub krótko: bazą przestrzeni afinicznej skończonego wymiaru nazywa się ciąg $(\mathrm o; \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n),$ gdzie $\mathrm o$ jest ustalonym punktem ze zbioru $A$ nazywanym punktem bazowym lub początkiem układu, a $\{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\}$ jest bazą przestrzeni $V.$ Współrzędne punktu $\mathrm a \in A$ to współrzędne wektora $\overrightarrow\mathrm{oa}$ względem bazy $(\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n).$

Układ punktów $\mathrm a_0, \mathrm a_1, \dots, \mathrm a_n \in A$ nazywa się afinicznie lub punktowo niezależnym, jeżeli wektory $\overrightarrow{\mathrm a_0 \mathrm a_1}, \overrightarrow{\mathrm a_0 \mathrm a_2}, \dots, \overrightarrow{\mathrm a_0 \mathrm a_n} \in V$ są liniowo niezależne. W ten sposób $n+1$ punktów przestrzeni afinicznej rozpina $n$-wymiarową przestrzeń liniową.

Dla każdego $i \in \{0, 1, \dots, n\}$ wektory $\overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_0}, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_1}, \dots, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_{i-1}}, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_{i+1}}, \dots, \overrightarrow{\mathrm a_i \mathrm a_n}$ stanowią układ liniowo niezależny. O ile dany punkt $\mathrm a \in A$ daje się zapisać jako kombinację afiniczną układu afinicznie niezależnego, to można to zrobić w dokładnie jeden sposób (współrzędne jednoznacznie identyfikują punkt względem takiego układu).

Podprzestrzeń afiniczna

Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej $(A, V)$ nazywa się parę $(P, U)$ taką, że $U$ jest podprzestrzenią liniową $V,$ a $P$ jest niepustym podzbiorem $A,$ która sama jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że dla $(P, U)$ określonej wyżej spełnione są warunki:

• $\mathrm p + \mathbf u$ dla wszystkich $\mathrm p \in P, \mathbf u \in U,$
• $\overrightarrow\mathrm{pq}$ dla wszystkich $\mathrm p, \mathrm q \in P.$

Tak jak przestrzeń afiniczną, jej podprzestrzeń opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary. Przestrzeń $U$ jest w tym wypadku jednoznacznie wyznaczona przez zbiór $P$ i nosi nazwę przestrzeni kierunkowej danej podprzestrzeni afinicznej.

Przestrzeń euklidesowa

Przestrzeń $(E, V)$ nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się przestrzenią euklidesową, jeżeli $V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową wyposażoną w iloczyn skalarny $\langle \cdot, \cdot \rangle.$ Iloczyn skalarny wyznacza metrykę

$d(\mathrm a, \mathrm b) = \left|\overrightarrow\mathrm{ab}\right|,$ gdzie $|\mathbf v| = \sqrt{\langle \mathbf v, \mathbf v \rangle}.$

Dodatkowo określa się odległość między podprzestrzeniami $P, Q \subseteq E$ wzorem

$d(P, Q) = \inf_\begin{smallmatrix}\mathrm p \in P,\\ \mathrm q \in Q\end{smallmatrix}~d(\mathrm p, \mathrm q).$

Kąt między podprzestrzeniami definiuje się jako kąt między ich przestrzeniami kierunkowymi. Te, które tworzą ze sobą kąt prosty nazywa się prostopadłymi (ortogonalnymi).

Uogólnienia

Dość zwięzłą definicją przestrzeni afinicznej jest następująca jej charakteryzacja: przestrzeń afiniczna to zbiór punktów $A\;$ z działającą na nim regularnie (równoważnie: ściśle przechodnio albo przechodnio w sposób wolny) grupą addytywną przestrzeni liniowej $V\;$ nad ciałem $K\;$. Przestrzeń afiniczną można określić analogicznie poprzez zastąpienie przestrzeni liniowej modułem.

Zobacz też

• przestrzeń rzutowa,
• przekształcenie afiniczne,
• algebra nad ciałem,
• grupa afiniczna,