Przestrzeń dyskretna

Przestrzeń dyskretna – w topologii przykład przestrzeni topologicznej lub podobnej struktury, w której punkty są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór $X.$

• Topologię dyskretną na $X$ definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór $X$ jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór $X$ wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
• Jednostajność dyskretną na $X$ definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej $\bigl\{(x, x)\colon x \in X\bigr\}$ jest otoczeniem. Zbiór $X$ wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
• Metrykę dyskretną na $X$ definiuje się wzorem

  $d(x,y) = \begin{cases} 1, & \mbox{gdy } x \ne y, \\ 0, & \mbox{gdy } x = y \end{cases}$

dla dowolnych $x, y \in X.$ Wtedy $(X, d)$ nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Przestrzeń metryczną $(X, d)$ nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje $r > 0$ takie, że dla dowolnych $x, y \in X$ jest $x = y$ bądź $d(x, y) > r.$ Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze $\left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dots\right\}.$

Własności

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna $X := \left\{\tfrac{1}{n}\colon n = 1, 2, 3, \dots\right\}$ z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzeń zupełna, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Dodatkowo:

• Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy otwarte są zbiory jednoelementowe, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera ona żadnych punktów skupienia, tzn. każdy jego punkt jest izolowany.
• Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
• Przestrzeń jednostajna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna jest otoczeniem.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania, w szczególności jest ona Hausdorffa oraz normalna.
• Przestrzeń dyskretna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona.
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
• Z powyższych dwóch faktów wynika, że każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona.
• Każda dyskretna przestrzeń metryczna jest ograniczona.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności; spełnia ona drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna.
• Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
• Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
• Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
• Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna.
• Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to $X$ jest rónwo pokryta przez $X \times Y$ (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
• Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.

Dowolna przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągła, a dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągła.

Z drugiej strony odwzorowanie przestrzeni topologicznej $Y$ w przestrzeń dyskretną $X$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt $Y$ ma otoczenie na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też

• przestrzeń antydyskretna.