Przestrzeń dyskretna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń dyskretna – w topologii przykład przestrzeni topologicznej lub podobnej struktury, w której punkty są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór X.

  • Topologię dyskretną na X definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór X jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór X wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
  • Jednostajność dyskretną na X definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej \bigl\{(x, x)\colon x \in X\bigr\} jest otoczeniem. Zbiór X wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
  • Metrykę dyskretną na X definiuje się wzorem
    d(x,y) = \begin{cases} 1, & \mbox{gdy } x \ne y, \\ 0, & \mbox{gdy } x = y \end{cases}

dla dowolnych x, y \in X. Wtedy (X, d) nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Przestrzeń metryczną (X, d) nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje r > 0 takie, że dla dowolnych x, y \in X jest x = y bądź d(x, y) > r. Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dots\right\}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna X := \left\{\tfrac{1}{n}\colon n = 1, 2, 3, \dots\right\} z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzeń zupełna, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Dodatkowo:

Dowolna przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągła, a dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągła.

Z drugiej strony odwzorowanie przestrzeni topologicznej Y w przestrzeń dyskretną X jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt Y ma otoczenie na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy