Przestrzeń funkcyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń funkcyjnazbiór funkcji ze zbioru X w zbiór Y. Jest on nazywany przestrzenią, gdyż w wielu zastosowaniach jest on przestrzenią topologiczną, czy liniową, a nawet oboma jednocześnie.

Sama analiza funkcjonalna skupiona jest wokół odpowiednich technik, które mogłyby zbliżyć przestrzenie funkcyjne postrzegane jako przestrzenie liniowo-topologiczne do pojęć stosowanych do opisu przestrzeni unormowanych skończonego wymiaru.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenią funkcyjną jest zbiór C[a, b] wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym [a, b].

Określając bowiem działania na funkcjach w „naturalny” sposób jako

\bigl(f + g\bigr)(x) := f(x) + g(x),
(af)(x) := a f(x)\; dla a \in \mathbb R,

a normę funkcji jako

\|f\| := \sup_{x \in [a,b]} \bigl|f(x)\bigr|

otrzymuje się unormowaną przestrzeń liniową. Okazuje się, że jest ona przestrzenią Banacha, dlatego podczas badania tej przestrzeni można korzystać z całego aparatu ogólnej teorii.

Liniowa niezależność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: liniowa niezależność.

Funkcje, traktowane jako wektory pewnej przestrzeni funkcyjnej, również mogą być liniowo niezależne: jest to zbiór funkcji f_i takich, że żadnej funkcji nie można przedstawić jako kombinacji liniowej innych funkcji z tego zbioru.

Przykładem może być układ funkcji potęgowych y = x^n,\; n \in \mathbb N określonych dla x \in \mathbb R.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]