Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Przestrzeń ilorazowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$, zaś $N$ podprzestrzenią $V$. Zdefiniujmy na $V$ relację równoważności $\sim$ taką, że $x \sim y \iff x - y \in N$, czyli $x$ jest w relacji z $y$ wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z $N$. Klasa równoważności $x$ jest często oznaczana przez

$[x] \equiv x + N$,

ponieważ jest dana jako

$[x] = \{x + n: n \in N\}$.

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni $N$ wznaczonymi przez wektor $x$.

Przestrzeń ilorazowa $V/N$ jest wówczas zdefiniowana jako $V/\sim$, czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad $V$. Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

• $\alpha[x] = [\alpha x]$ dla każdego $\alpha \in K$,
• $[x] + [y] = [x + y]$.

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają $V/N$ w przestrzeń liniową nad $K$.

Przykłady i własności

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni $\mathbb R^n$. Niech $m \le n$, zaś $\mathbb R^m$ podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze $m$ wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory $\mathbb R^n$ są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich $n-m$ współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa $\mathbb R^n/\mathbb R^m$ jest izomorficzna z $\mathbb R^{n-m}$ w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli $V$ daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni $U$ i $W$:

$V = U \oplus W$,

to przestrzeń ilorazowa $V/U$ jest naturalnie izomorficzna z $W$.

Jeżeli $U$ jest podprzestrzenią $V$, to kowymiar przestrzeni $U$ w $V$ jest zdefiniowany jako wymiar $V/U$. Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów $V$ oraz $U$:

$\operatorname{codim} U = \dim V/U = \dim V - \dim U$.

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z $V$ na przestrzeń ilorazową $V/U$ dany jako przesłanie elementu $x$ na jego klasę równoważności $[x]$. Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń $U$.

Niech $T\colon V \to W$ będzie przekształceniem liniowym. Jądrem $T$, oznaczanym przez $\ker T$ jest zbiór wszystkich $x \in V$ takich, że $Tx = 0$. Jądro jest podprzestrzenią $V$. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniwej mówi, że przestrzeń ilorazowa $V/\ker T$ jest izomorficzna z obrazem $V$ w $W$. Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar $V$ jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych $T\colon V \to W$ jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa $W/\operatorname{im}\;T$, zaś $V/\ker T \simeq \operatorname{im} T$.

Jeżeli $T$ będzie dane tak, aby $W \subseteq \ker T$, zaś $R\colon V \to V/W$ będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe $S\colon V/W \to W$, że $S \circ R = T$. Ponadto jeśli:

• $S$ jest epimorfizmem, to $T$ również jest epimorfizmem,
• $W = \ker T$, to $S$ jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha, a $M$ domkniętą podprzestrzenią $X$, to iloraz $X/M$ również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na $X/M$ wzorem

$\|[x]\|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X$.

Przestrzeń ilorazowa $X/M$ jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady

Niech $C[0,1]$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale $[0, 1]$, zaś $M$ oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji $f \in C[0,1]$ takich, że $f(0) = 0$. Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji $g$ jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa $C[0,1]/M$ jest izomorficzna z $\mathbb R$.

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa $X/M$ jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym $M$.

Zobacz też

• grupa ilorazowa,
• moduł ilorazowy,
• przestrzeń ilorazowa (w topologii).