Przestrzeń jednorodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń jednorodna – w matematyce, a szczególnie teoriach grup Liego, grup algebraicznych i grup topologicznych, dla danej grupy G niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna X na której G działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna G jest grupą homeomorfizmów przestrzeni X. Wówczas X jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie X „wygląda wszędzie tak samo”. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie G było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy G na X, o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na X, czyniąc z X pojedynczą G-orbitę.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie niepustym zbiorem, a G będzie grupą. Parę (X, G) nazywa się G-przestrzenią, jeżeli G działą na X[1]. Zauważmy, że G musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli X należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy G działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na X wyznaczane przez G zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to G-przestrzeń, na której G działa przechodnio.

Zwięźle, jeśli X jest obiektem kategorii \mathbf C, to strukturą G-przestrzeni jest homomorfizm

\varrho\colon G \to \operatorname{Aut}_{\mathbf C}(X)

w grupę automorfizmów obiektu X kategorii \mathbf C. Para (X, \varrho) definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie \varrho(G) jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze X.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na X jako homeomorfizmy. Strukturą G-przestrzeni jest homomorfizm grup \varrho\colon G \to \operatorname{Homeo}(X) w grupę homeomorfizmów X.

Podobnie, jeżeli X jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą G-przestrzeni jest homomorfizm grup \varrho\colon G \to \operatorname{Diff}(X) w grupę dyfeomorfizmów X.

Geometria[edytuj | edytuj kod]

W duchu programu erlangeńskiego, geometria X może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.

W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.

Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa \operatorname{GL}(4,\mathbb{R}) działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.

Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw[edytuj | edytuj kod]

Ogólnie, jeżeli X jest przestrzenią jednorodną, a H_o jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu o \in X (wybór początku), to punkty X odpowiadają warstwom lewostronnym G/H_o.

W ogólności różne wybory początku o będą dawać iloraz G przez inną podgrupę H_{o'}, która związana jest z H_o przez automorfizm wewnętrzny G. Dokładniej,

H_{o'} = gH_og^{-1},
(1)

gdzie g jest dowolnym elementem G, dla którego go = o'. Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory g, lecz tylko od g modulo H_o.

Jeżeli działanie G na X jest ciągłe, to H jest domkniętą podgrupą G W szczególności, jeśli G jest grupą Liego, to H jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd G/H jest rozmaitością gładką, a więc X jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.

Jeżeli H jest podgrupą trywialną \{e\}, to X jest główną przestrzenią jednorodną.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać H z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej \operatorname{GL}_4 zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy

h_{13} = h_{14} = h_{23} = h_{24} = 0,

szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że X jest wymiaru 4.

Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.

Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.

Prejednorodne przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.

Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa V z działaniem grupy algebraicznej G takiej, że istnieje orbita G, która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być \operatorname{GL}_1 działająca na przestrzeni jednowymiarowej.

Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).

Zastosowania fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître'a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.[2].

Przestrzeń jednorodna N-tego wymiaru określa N(N-1)/2 wektorów Killinga[3]. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do odnalezienia znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych

\xi^{(a)}_{[i;k]} = C^a_{\ bc} \xi^{(b)}_i \xi^{(c)}_k,

gdzie obiekt C^a_{\ bc}, „stała strukturalna” jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej), można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest C^a_{\ bc} = 0 (typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW, C^a_{\ bc} = \varepsilon^{a}_{\ bc}, gdzie \varepsilon^a_{\ bc} jest symbolem Leviego-Civity.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Przyjmujemy, że działanie jest lewostronne. Rozróżnienie jest istotne tylko w opisie \scriptstyle X jako przestrzeni warstw.
  2. Lev Landau i Evgeny Lifshitz: Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann, 1980. ISBN 978-0750627689.
  3. Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley and Sons, 1972.