Przestrzeń nieprzywiedlna

Przestrzeń nieprzywiedlna - niepusta przestrzeń topologiczna w której każda para niepustych zbiorów otwartych ma niepustą część wspólną.

Własności

• Przestrzeń topologiczna jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej niepusty zbiór otwarty jest w niej gęsty.
• Przestrzeń topologiczna jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny jego zbiór otwarty jest spójny.
• Jeśli przestrzeń X jest nieprzywiedlną podprzestrzenią przestrzeni Y, to domknięcie X w Y jest nieprzywiedlne.
• Jeśli X jest przestrzenią nieprzywiedlną, to dowolny jej otwarty podzbiór jest także nieprzywiedlny.
• Jeśli przestrzeń X ma pokrycie otwartymi zbiorami nieprzywiedlnymi, takie że dowolne dwa takie zbiory mają przecięcie niepuste, to przestrzeń X jest nieprzywiedlna.
• Dowolna nieprzywiedlna podprzestrzeń przestrzeni X jest zawarta w pewnej maksymalnej podprzestrzeni nieprzywiedlnej. Maksymalna nieprzywiedlna podprzestrzeń nazywana jest nieprzywiedlną składową przestrzeni X i jest jej podzbiorem domkniętym. Przestrzeń X jest sumą swoich składowych nieprzywiedlnych.

Przykłady

• Jeśli przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Hausdorffa, to wszystkie jego składowe są jednopunktowe, bo dowolne dwa punkty należą do różnych składowych (mają otwarte otoczenia rozłączne).
• Zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ z topologią, w której zbiorami otwartymi są dopełnienia zbiorów skończonych, jest homeomorficzna z przestrzenią $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$.

Bibliografia

1. N. Bourbaki: Algebra przemienna (tłum. ros.). Wyd. 1. Mir, 1971.
2. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Wstęp do algebry przemiennej (tłum. ros.). Wyd. 1. Mir, 1972.