Przestrzeń refleksywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń refleksywna - w analizie funkcjonalnej, przestrzeń unormowana X, która jest izomorficzna ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną poprzez odwzorowanie

\kappa\colon X\longrightarrow X^{**}

dane wzorem

\langle \kappa(x), f\rangle = \langle f, x\rangle\,\,\;\; (x\in X, f\in X^{*}),

nazywane zanurzeniem kanonicznym przestrzeni X w X**. Dla każdej przestrzeni X zdefiniowane wyżej odwzorowanie \kappa jest różnowartościowe. Przestrzeń X jest refleksywna, gdy κ jest odwzorowaniem na X**.

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Izometryczność zanurzenia kanonicznego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli B i B* oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, X i X*, to zachodzą wzory

\begin{array}{rcl}\|f\|&=&\sup\{|\langle f, x\rangle |\colon\, x\in B\}\;\;\;(f \in X^*),\\
\|x\|&=&\sup\{|\langle f, x\rangle |\colon\, f\in B^*\}\;\;\;(x\in X),\end{array}

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Dla wszystkich funkcjonałów f z X* i wszystkich elementów x z przestrzeni X zachodzi nierówność

|\langle f, x\rangle |\leqslant \|f\|\|x\| ,

więc odwzorowanie κ jest izometrią, gdyż dla każdego elementu x przestrzeni X spełniona jest równość:

\|\kappa(x)\|=\sup\{|\langle \kappa(x), f\rangle|\colon\, f\in B^*\}=\sup\{|\langle f, x\rangle|\colon\, f\in B^*\}=\|x\|.

Przestrzeń X** jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa). Każda przestrzeń refleksywna jest więc zupełna (jest przestrzenią Banacha) jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Phillipsa[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń X nazywa się:

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu x przestrzeni X, że ||x|| = 1 istnieje dokładnie jeden taki element x* przestrzeni X*, że ||x*|| = 1 oraz ‹ x*, x › = 1.
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie xx* takie jak w powyższej definicji jest jest ciągłe w sensie słabej topologii w X*.

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodyma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej X* (a więc w konsekwencji przestrzeni X) a jej własnością Radona-Nikodyma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

X* jest refleksywna jeśli: X* ma własność Radona-Nikodyma jeśli:
X**** jest ściśle wypukła
X*** jest gładka (ang. smooth) X*** jest ściśle wypukła.
X** jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła X** jest gładka
X* jest silnie gładka (ang. very smooth) X* jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[1]
X jest jednostajnie wypukła X* jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera[2]:

Jeśli X*** jest silnie wypukła oraz X* zawiera właściwą podprzestrzeń liniową Y dla której odwzorowanie kanoniczne XY* jest izometrią, to X jest przestrzenią refleksywną.

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455.
  2. Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
  3. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
  4. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.