Przestrzeń regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń regularna i przestrzeń T_3 to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Powiemy że w przestrzeni topologicznej X punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego F\subseteq X i dowolnego punktu x\in X\setminus F można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U,V\subseteq X takie że x\in U i F\subseteq V:
Punkt x przedstawiony jako kropka po lewej stronie i zbiór domknięty F, przedstawiony jako zaczerniony dysk po prawej stronie są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U, V (przedstawione jako większe koła)

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że punkt x i zbiór domknięty F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U,V.

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa[edytuj | edytuj kod]

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń T_3 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
  • przestrzeń T_3 jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią T_3 i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • jeśli y>0, to {\mathcal B}(x, y)=\{\{(x, y)\}\},
  • jeśli y=0, to {\mathcal B}(x, y) składa się ze wszystkich zbiorów postaci \{(x, v)\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup\{(x+v, v)\in {\mathbb R}^2:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B, gdzie B jest zbiorem skończonym,
  • {\mathcal B}(0,-1)=\{U_i:i=1,2,3,\ldots\}, gdzie U_i=\{(0,-1)\}\cup\{(u, v)\in {\mathbb R}^2:i\leqslant u\}.
Wtedy (M,\tau) jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
  • Istnieją przestrzenie T_2 które nie są T_3. Rozważmy na przykład zbiór X=[0,1] z topologią \tau otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na [0,1] o zbiór [0,1]\setminus \{\frac{1}{n}:n=2,3,4\ldots\}. Wtedy (X,\tau) jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń topologiczna X spełniająca warunek T_1 jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego punktu x\in X i jego otoczenia otwartego V (tak więc x\in V\subseteq X) istnieje otoczenie U punktu x którego domknięcie jest zawarte w V (tzn x\in U\subseteq {\rm cl}(U)\subseteq V).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 52.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 38. ISBN 3-88538-006-4