Przestrzeń regularna

Przestrzeń regularna i przestrzeń $T_3$ to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Definicje

Powiemy że w przestrzeni topologicznej $X$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie że $x\in U$ i $F\subseteq V$:

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że punkt $x$ i zbiór domknięty $F$ są rozdzielone przez otoczenia otwarte $U,V$.

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń $T_3$ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii definiuje

• przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
• przestrzeń $T_3$ jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje

• bycie przestrzenią $T_3$ i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest $T_3$. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są $T_{3\frac{1}{2}}$. Na przykład rozważmy podzbiór $M=:\{(x, y)\in {\mathbb R}^2:y\geqslant 0\}\cup\{(0,-1)\}$ płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze $M$ wprowadzamy topologię $\tau$ przez określenie bazy otoczeń ${\mathcal B}(x, y)$ w każdym punkcie $(x, y)\in M$:

• jeśli $y>0$, to ${\mathcal B}(x, y)=\{\{(x, y)\}\}$,
• jeśli $y=0$, to ${\mathcal B}(x, y)$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci $\{(x, v)\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup\{(x+v, v)\in {\mathbb R}^2:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B$, gdzie $B$ jest zbiorem skończonym,
• ${\mathcal B}(0,-1)=\{U_i:i=1,2,3,\ldots\}$, gdzie $U_i=\{(0,-1)\}\cup\{(u, v)\in {\mathbb R}^2:i\leqslant u\}$.

Wtedy $(M,\tau)$ jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.

• Istnieją przestrzenie $T_2$ które nie są $T_3$. Rozważmy na przykład zbiór $X=[0,1]$ z topologią $\tau$ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na $[0,1]$ o zbiór $[0,1]\setminus \{\frac{1}{n}:n=2,3,4\ldots\}$. Wtedy $(X,\tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.

Własności

• Przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca warunek $T_1$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy

dla każdego punktu $x\in X$ i jego otoczenia otwartego $V$ (tak więc $x\in V\subseteq X$) istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ którego domknięcie jest zawarte w $V$ (tzn $x\in U\subseteq {\rm cl}(U)\subseteq V$).

• Każda regularna przestrzeń topologiczna $X$ która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
• Podzbiór przestrzeni $T_3$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_3$. Własność być przestrzenią $T_3$ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_3$ jest przestrzenią $T_3$.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania,
• przestrzeń Hausdorffa ($T_2$),
• przestrzeń Tichonowa ($T_{3\frac{1}{2}}$).