Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego - dla danej zespolonej przestrzeni liniowej V przestrzeń liniowa \overline{V}, której elementami są elementy zbioru V, działanie dodawania jest takie samo jak w przestrzeni V, natomiast mnożenie przez skalary zdefiniowane jest wzorem

\alpha \odot x = \overline{\alpha}x,

dla każdego x\in V oraz każdej liczby zespolonej \alpha. Działanie po prawej stronie znaku równości oznacza mnożenie przez skalar (liczbę sprzężoną do \alpha) w przestrzeni V.

Przestrzenie V i \overline{V} mają jednakowe wymiary, a więc są izomorficzne z punktu widzenia algebry liniowej, to znaczy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe między tymi przestrzeniami. Przestrzeń \overline{\overline{V}} można w naturalny sposób utożsamiać z przestrzenią V (zob. idempotentność).

Jeśli V,W są zespolonymi przestrzeniami liniowymi oraz A\colon V\to W jest odwzorowaniem antyliniowym, to jest ono liniowe jako przekształcenie przestrzeni \overline{V} w przestrzeń W\, (cały czas można mówić o jednym i tym samym odwzorowaniu ponieważ zbiory wektorów przestrzeni V\, i \overline{V} są równe. W szczególności, identyczność

\mbox{id}\colon H\to \overline{H}

jest izomorfizmem antyliniowym.

Twierdzenie Riesza o reprezentacji ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta H mówi, że dla każdego x^*\in H^* istnieje dokładnie jeden element a\in H taki, że

x^*x=( x| a )\,

dla każdego x\in H. Z tego twierdzenia wynika, że każda przestrzeń Hilberta H jest antyliniowo (izometrycznie) izomorficzna ze swoją przestrzenią sprzężoną H^*. Stąd, niekiedy wygodnie jest dokonywać utożsamienia

H^*=\overline{H}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004, s. 142. ISBN 83-01-14267-7.