Przestrzeń zupełna

Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, dla której każdy określony na niej ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni.

Przykłady

• Prosta euklidesowa jest przestrzenią zupełną,
• Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
• Otwarty przedział jednostkowy $\scriptstyle (0, 1)$ z metryką euklidesową nie jest przestrzenią zupełną: ciąg $\scriptstyle a_n = \frac1n$ jest w niej bowiem ciągiem Cauchy'ego, natomiast jego granica (równa zeru) do niej nie należy. Przykład ten ukazuje również, iż zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym, ponieważ prosta i przedział $\scriptstyle (0, 1)$ są homeomorficzne; mimo wszystko zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. zupełność jest zachowywana przy izometriach.
• Zbiór liczb wymiernych $\scriptstyle \mathbb{Q}$ także nie jest zupełny - ciąg zdefiniowany jako $\scriptstyle x_1 \;=\; 1$ oraz $\scriptstyle x_{n+1} \;=\; \frac{x_n}{2} \,+\, \frac{1}{x_n}$ jest ciągiem Cauchy'ego liczb wymiernych, jednak jego granicą jest niewymierna liczba $\scriptstyle \sqrt{2}$.
• Z definicji przestrzenie Banacha są zupełnymi przestrzeniami unormowanymi. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Własności

Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna oraz całkowicie ograniczona. Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Uzupełnienie

Twierdzenie Hausdorffa 

Dla każdej przestrzeni metrycznej $\scriptstyle (X, d)$ istnieje przestrzeń metryczna zupełna $\scriptstyle \left(\tilde X, \tilde d\right)$ oraz zanurzenie izometryczne $\scriptstyle f\colon X \to \tilde X,$ dla którego $\scriptstyle f(X)$ jest gęstą podprzestrzenią $\scriptstyle \tilde X.$ Przestrzeń $\scriptstyle \left(\tilde X, \tilde d\right)$ nazywa się uzupełnieniem $\scriptstyle (X, d).$ Ponadto jeśli $\scriptstyle (Y, \rho)$ jest zupełna oraz istnieje izometryczne zanurzenie $\scriptstyle g\colon X\to Y,$ dla którego $\scriptstyle g(X)$ jest gęstą podprzestrzenią $\scriptstyle Y,$ to $\scriptstyle Y$ i $\scriptstyle \tilde X$ są izometryczne.

Innymi słowy każda przestrzeń metryczna ma jedyne z dokładnością do izometrii uzupełnienie.

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.