Przestrzeń zupełna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń zupełnaprzestrzeń metryczna, dla której każdy określony na niej ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna oraz całkowicie ograniczona. Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Uzupełnienie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Hausdorffa 
Dla każdej przestrzeni metrycznej \scriptstyle (X, d) istnieje przestrzeń metryczna zupełna \scriptstyle \left(\tilde X, \tilde d\right) oraz zanurzenie izometryczne \scriptstyle f\colon X \to \tilde X, dla którego \scriptstyle f(X) jest gęstą podprzestrzenią \scriptstyle \tilde X. Przestrzeń \scriptstyle \left(\tilde X, \tilde d\right) nazywa się uzupełnieniem \scriptstyle (X, d). Ponadto jeśli \scriptstyle (Y, \rho) jest zupełna oraz istnieje izometryczne zanurzenie \scriptstyle g\colon X\to Y, dla którego \scriptstyle g(X) jest gęstą podprzestrzenią \scriptstyle Y, to \scriptstyle Y i \scriptstyle \tilde X są izometryczne.

Innymi słowy każda przestrzeń metryczna ma jedyne z dokładnością do izometrii uzupełnienie.

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Przypisy

  1. I Przestrzenie metryczne. W: Janina Wolska-Bochenek, Andrzej Borzymowski, Jerzy Chmaj, Magdalena Tryjarska: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981. ISBN 83-01-01693-0.