Przestrzeń zwarta

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna $X$ o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z $X$) jest przestrzenią zwartą.

Niektórzy autorzy (jak na przykład Ryszard Engelking) formułują definicję zwartości żądając dodatkowo by rozważana przestrzeń była przestrzenią Hausdorffa. Przestrzenie nie spełniającego tego warunku, a zwarte w sensie powyższej definicji nazywane bywają często przestrzeniami quasizwartymi.

Idea

Idea zwartości wyłoniła się w drodze rozważań topologicznych – matematycy zauważyli, że przestrzenie spełniające warunek zwartości dobrze się zachowują. Oto najważniejsze przykłady takich dobrych zachowań:

• funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej, jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy;
• funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła;
• każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna.

Mówiąc ogólniej: w przestrzeni zwartej niektóre własności spełniane lokalnie, są automatycznie spełnione globalnie. Mówiąc niektóre mamy na myśli dokładnie te własności $P$, które spełniają warunek: dla każdych zbiorów otwartych $V, U$, jeżeli $V, U$ mają własność $P$, to również ich suma ma tą własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Własności

Niezmienniczość na ciągłe obrazy

Twierdzenie. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech $X$ będzie przestrzenią zwartą, a $f\colon X \rightarrow Y$ odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz $f(X)$ jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie $\{V_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ zbioru $f(X)$. Wtedy $\mathcal{V} = \{f^{-1}(V_{\lambda})\}_{\lambda \in \Lambda}$ jest otwartym pokryciem $X$. Istotnie, otwartość elementów rodziny $\mathcal{V}$ od razu wynika z ciągłości $f$. Ponadto, dla dowolnego $x \in X$ istnieje zbiór $V_{\lambda'}$, taki że $f(x) \in V_{\lambda'}$. Dlatego też $x \in f^{-1}(V_{\lambda'})$.

Na mocy zwartości $X$ istnieje skończona rodzina zbiorów $\{f^{-1}(V_{\lambda_1}), f^{-1}(V_{\lambda_1}), \cdots, f^{-1}(V_{\lambda_n}) \}$ będąca pokryciem $X$. Zatem rodzina $\{V_{\lambda_1}, V_{\lambda_1}, \cdots, V_{\lambda_n}\}$ jest otwartym, skończonym pokryciem $f(X)$.

Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia $f(X)$ można wybrać otwarte podpokrycie, co oznacza, że zbiór $f(X)$ jest zwarty.

Charakteryzacja podzbiorów zwartych w przestrzeniach euklidesowych

Twierdzenie. Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony (twierdzenie Heinego-Borela).

Osiąganie kresów przez ciągłe funkcje rzeczywiste

Twierdzenie. Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w $\mathbb{R}$ jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy (twierdzenie Weierstrassa).

Dowód. Niech $f\colon X \rightarrow \mathbb{R}$ będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej $X$. Wówczas $f(X)$ jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela (Własność 2). $f(X)$ jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność $f(X)$ oznacza, że $f$ jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości $f(X)$ wynika że $\inf f(X) \in f(X)$ oraz $\sup f(X) \in f(X)$. Zatem $f$ przyjmuje swoje kresy. $\;_\square$

Iloczyny kartezjańskie przestrzeni zwartych

Twierdzenie. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).

Domkniętość zbiorów zwartych

Twierdzenie. Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód. Niech $X$ będzie przestrzenią Hausdorffa, a $A\subset X$ jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że $A$ jest domknięty uzasadnimy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego $x \in X\setminus A$ istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru $A$.

Niech $x \in X\setminus A$, $y \in A$. Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie $V_y$ punktu $x$ oraz otoczenie $U_y$ punktu $y$ takie że $V_y \cap U_y = \emptyset$.

Oczywiście rodzina $\{U_{y}\}_{y \in A}$ stanowi otwarte pokrycie $A$. Na mocy zwartości $A$ istnieje skończone podpokrycie $\{U_{y_1}, U_{y_2}, \cdots, U_{y_n}\}$. Każdy zbiór $U_{y_i}$ jest rozłączny z odpowiednim zbiorem $V_{y_i}$. Zatem przekrój $V = \bigcap_{i=1}^n V_i$ jest rozłączny z każdym ze zbiorów $U_{y_i}$. Więc $V$ jest otoczeniem $x$, które jest rozłączne z $A$. Z dowolności $x$ wynika, że zbiór $A$ jest domknięty. $\;_\square$

Ograniczoność zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych

Twierdzenie. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód

Niech $A$ będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej $(X,d)$.

Należy udowodnić, że $\operatorname{diam}(A) = \sup\{d(x, y)\colon x, y \in A\} < \infty$

Wykorzystamy fakt, że metryka $d\colon X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła. Obcięcie $f = d|_A$ jest ciągłe. Na mocy twierdzenia Weierstrassa (Własność 3) funkcja $f$ jest ograniczona. Zatem $\sup\{f(x, y): x, y \in A\} < \infty$. Czyli $\operatorname{diam}(A) < \infty$.

Wykazaliśmy, że zbiór $A$ jest ograniczony. $\;_\square$

Ciągłe bijekcje są homeomorfizmami

Twierdzenie. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni $X$ na przestrzeń Hausdorffa $Y$ jest homeomorfizmem.

Dowód. Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech $A \subset X$ będzie domknięty i niech $f\colon X \rightarrow Y$ będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni $X$ w przestrzeń Hausdorffa $Y$. Wówczas $A$ jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd $f(A)$ jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc $f(A)$ jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa. $\;_\square$

Charakteryzacja zwartości w przestrzeniach mertycznych

Twierdzenie. Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

• przestrzeń $X$ jest zwarta;
• każdy ciąg $(x_n)$ w tej przestrzeni zawiera podciąg $(x_{n_k})$ zbieżny, tzn. $X$ jest ciągowo zwarta;
• z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. $X$ jest przeliczalnie zwarta;
• dla każdej funkcji ciągłej $f:X\to\mathbb{R}$ obraz $f(X)$ jest ograniczony, tzn. $X$ jest pseudozwarta.

Zwartość domkniętych podzbiorów

Twierdzenie. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód. Niech $A \subset X$, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej $X$. Weźmy dowolne otwarte pokrycie $A$: $\{U_i\}_{i \in I}$. Ponieważ $A$ jest domknięty to jego dopełnienie jest otwarte i razem z $\{U_i\}_{i \in I}$ stanowi otwarte pokrycie $X$. Ze zwartości $X$ możemy wybrać jego skończone pokrycie z pokrycia $\{U_i\}_{i \in I} \cup X \setminus A$, oznaczmy je przez $D$. Niezależnie, czy $D$ zawiera $X \setminus A$ czy nie, $D \setminus (X \setminus A)$ jest skończonym, otwartym pokryciem $A$ wybranym z dowolnego pokrycia $\{U_i\}_{i \in I}$. Zatem $A$ jest zwarty. $\;_\square$

Zwartość implikuje normalność

Twierdzenie. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Przestrzenie metryczne

Zwartość przestrzeni metrycznej można opisywać na wiele równoważnych sposobów. W przestrzeni euklidesowej (w szczególności w ${\mathbb R}^n$) zwartość można zdefiniować w następujący sposób (twierdzenie Heinego-Borela):

Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Ogólniej, w przestrzeniach metrycznych szczególnie często korzysta się z następującej własności:

Przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

Przykłady

Stosując powyższą definicję od razu można podać przykłady przestrzeni zwartych i przestrzeni, które zwarte nie są:

• zwarty jest odcinek $[0,1] \subset \mathbb R$,
• odcinek $(0,1) \subset \mathbb R$ nie jest już zwarty (z powodu braku domkniętości): Rodzina zbiorów

$\left\{ \left({1 \over n},\; {2 \over n}\right): n \in \mathbb N, n \geqslant 2 \right\} = \left\{ \left({1 \over 2},\; 1\right),\; \left({1 \over 3},\; {2 \over 3}\right),\; \left({1 \over 4},\; {1 \over 2}\right),\;\left({1 \over5},\; {2 \over 5}\right), \dots \right\}$

jest pokryciem odcinka $(0, 1)$ zbiorami otwartymi w $\mathbb R$ (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały odcinek $(0, 1)$.

• zwarta nie jest również cała prosta liczbowa $\mathbb R$.
• zwarty jest zbiór Cantora

Pokrewne pojęcia

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy przeliczalnie zwartą jeśli z każdego przeliczalnego pokrycia otwartego $X$ można wybrać podpokrycie przeliczalne. Oczywiście każda przestrzeń zwarta jest przeliczalnie zwarta.

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy pseudozwartą jeśli dla każdej ciągłej funkcji $f:X\to\mathbb{R}$ obraz $f(X)$ jest ograniczony. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta.

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg $(x_n)$ w tej przestrzeni zawiera podciąg $(x_{n_k})$ zbieżny, tzn. istnieje element $x\in X$ taki, że każde otwarte otoczenie $U$ punktu $x$ zawiera wszystkie elementy ciągu $(x_{n_k})$ poza co najwyżej skończoną ich liczbą.

Zobacz też

• przestrzeń lokalnie zwarta
• kompaktyfikacja przestrzeni
• topologia Tichonowa
• przestrzeń spójna