Przyspieszenie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Przyśpieszenie)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Przyspieszeniewektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie.

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości. Jeśli przyspieszenie styczne jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje a przyspieszenie to jest nazywane opóźnieniem.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Definicja przyspieszenia

Jeżeli dany wektor \vec r określa położenie punktu materialnego, a wektor \vec v określa prędkość tego punktu, to przyspieszenie \vec a tego punktu jest pochodną prędkości po czasie:

\vec a = \frac {d \vec v}{dt}

Ponieważ prędkość jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

\vec a = \frac {d^2 \vec r}{dt^2} \,

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

 \left[ \vec a \right] = \frac {\text {m}} {\text {s}^2}

Związek z dynamiką[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły F działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała m. Kierunek i zwrot przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły. Wzór wyrażający tę zależność ma postać

\vec a = \frac {\vec F} {m}

W ruchu prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

a = \frac {dv}{dt}

W ruchu jednostajnie zmiennym[edytuj | edytuj kod]

Gdy przyspieszenie jest stałe, wzór definicyjny przybiera postać

a = \frac {\Delta v}{\Delta t}

gdzie Δv jest przyrostem prędkości w czasie Δt.

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Przyspieszenie styczne at i normalne an

Jeżeli ciało porusza się po torze krzywoliniowym, wówczas całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym \vec a_n) i składową równoległą zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. \vec a_t).

Wektor przyspieszenia całkowitego jest sumą składowej normalnej i stycznej:

 \vec a  = \vec a_n + \vec a_t

Składowe styczna i normalna są prostopadłe, dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

| \vec a | = \sqrt{|\vec a_n|^2 + |\vec a_t|^2}

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Przyspieszenie dośrodkowe.

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako v, a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi r, to wartość an przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

a_n = \frac {v^2}{r}

Przyspieszenie styczne[edytuj | edytuj kod]

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie v dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne at określają wzory:

a_t = \frac {dv}{dt}=\frac{d^2 s}{dt^2}

Przyspieszenie kątowe[edytuj | edytuj kod]

Przyspieszenie kątowe jest wielkością opisującą ruch krzywoliniowy utworzoną analogicznie do przyspieszenia, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a ω oznacza prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego ε określa wzór

\varepsilon = \frac {d \omega}{dt}=\frac{d^2 \alpha}{dt^2} \quad \left[ \varepsilon \right] = \frac {1} {\text{s}^2}

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Przyspieszenie układu ciał[edytuj | edytuj kod]

Poniżej przedstawiono sposób obliczenia przyspieszenia przykładowego układu ciał.

Wyznaczanie przysp. układu ciał - przyp. 1.svg

Aby wyznaczyć przyspieszenie poruszającego się układu ciał, należy sporządzić rysunek pomocniczy. Na rysunku rysujemy symbolicznie 3 ciała oraz działające na nie siły. Następnie należy ułożyć równanie siły wypadkowej dla każdego z ciał, bierzemy pod uwagę siły działające w kierunku ruchu ciała. Dla każdego ciała należy zapisać osobne równanie II zasady dynamiki.

Dla pierwszego ciała o masie m siła wypadkowa wynosi

Od naciągu odejmujemy tarcie, ponieważ ciało porusza się w prawą stronę i naciąg jest większy od tarcia.

F_w=N_1-T

Zgodnie z II zasadą dynamiki siła wypadkowa równa się iloczynowi masy i przyspieszenia, a tarcie równa się iloczynowi masy, przyspieszenia ziemskiego i współczynnika tarcia. Zatem:

m \cdot a_w=N_1-mgf

Kolejnym krokiem jest ułożenie równania siły wypadkowej dla ciała o masie M1. Ciężar ciała i naciąg 2 są większe od naciągu 1, zatem równanie ma postać:

F_w=Fg_1+N_2-N_1

Zgodnie z II zasadą dynamiki siła wypadkowa równa się iloczynowi masy i przyspieszenia, a ciężar ciała równa się iloczynowi masy i stałej grawitacji. Zatem:

M_1 \cdot a_w=M_1 \cdot g+N_2-N_1

Przy okazji wyprowadzamy wzór na naciąg, który przyda się do dalszych obliczeń.

N_1=M_1 \cdot g+N_2-M_1 \cdot a_w

W końcu układamy wzór na siłę wypadkową dla ciała o masie M2

F_w=Fg_2-N_2

Zgodnie z II zasadą dynamiki siła wypadkowa równa się iloczynowi masy i przyspieszenia, a ciężar ciała równa się iloczynowi masy i stałej grawitacji. Zatem:

M_2 \cdot a_w=M_2 \cdot g-N_2

Wyprowadzamy wzór na naciąg 2.

N_2=M_2 \cdot g-M_2 \cdot a_w

Następnie do wzoru na naciąg 1 podstawiamy w miejsce N2 wzór na naciąg 2

N_1=M_1 \cdot g+M_2 \cdot g-M_2 \cdot a_w-M_1 \cdot a_w

Teraz za naciąg 1 podstawiamy m \cdot a_w=N_1-mgf, przenosimy -mgf na drugą stronę równania

m \cdot a_w=M_1 \cdot g+M_2 \cdot g-M_2 \cdot a_w-M_1 \cdot a_w-mgf

Kolejnym krokiem jest uporządkowanie równań, wyrażenia z przyspieszeniem przenosimy na lewo, a wyrazy z przyspieszeniem ziemskim na prawo

m \cdot a_w+M_1 \cdot a_w+M_2 \cdot a_w=M_1 \cdot g+M_2 \cdot g-mgf

Po lewej stronie równania wyciągamy przed nawias przyspieszenie wypadkowe, po prawej stronie podobnie postępujemy z przyspieszeniem ziemskim

a_w(m+M_1+M_2)=g(M_1+M_2-mf)

Następnie dzielimy równanie obustronnie przez (m+M_1+M_2) i otrzymujemy wyprowadzony wzór na przyspieszenie wypadkowe układu ciał.

a_w=\frac{g(M_1+M_2-mf)}{m+M_1+M_2}

Pomiar[edytuj | edytuj kod]

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Zobacz hasło przyśpieszenie w Wikisłowniku