Przybliżenie Padé

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przybliżenia Padé funkcji tangens
Przybliżenia Padé funkcji wykładniczej

Przybliżenie Padé – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

Jej odkrywcą jest Henri Padé.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla danej funkcji f i dwóch liczb naturalnych m, n ∈ N0, przybliżeniem Padé rzędu (m, n) jest funkcja wymierna

R_{m, n}(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m}{1+b_1 x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n}

której pochodne równają się pochodnym f(x) do najwyższego możliwego rzędu

f(0)=R(0)\,
f'(0)=R'(0)\,
f''(0)=R''(0)\,
\vdots\,
f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0).\,

Ściślej i ogólniej funkcja wymierna \rho jest przybliżeniem Padé rzędu (k, n-k) formalnego szeregu potęgowego g nad ciałem F, jeżeli:[1]

g = \sum_{i \in \mathbb{N}_0} g_i x^i \in F[[x]] (g_i \in F)
\rho = \frac{r}{t}
r, t \in F[x]
x \nmid t
\frac{r}{t} \equiv g \mod x^n (równoważnie r \equiv t g \mod x^n)
\deg r < k
\deg r \leq n-k

Obliczanie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Taylora ma postać

f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \cdots

to współczynniki w przybliżeniu Padé spełniają układ równań

a_i = \sum_{j=0}^i b_j \cdot c_{i-j} dla i = 0, 1, ..., m+n

Przy czym przyjmuje się, że

b0 = 1
ai = 0 dla i > m
bi = 0 dla i > n

Przypisy

  1. Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard: Modern computer algebra.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Padé Approximant (ang.) w encyklopedii MathWorld
  2. A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]