Przykłady przestrzeni liniowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. K będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste \mathbb R lub liczby zespolone \mathbb C. Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa[edytuj | edytuj kod]

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: \{\mathbf 0\}. Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc \{\mathbf 0\} jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad K. Każda przestrzeń liniowa nad K zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Ciało[edytuj | edytuj kod]

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało K. Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka K służy jako baza, tak więc K jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad K. Dodatkowo K ma tylko dwie podprzestrzenie: \{\mathbf 0\} oraz samo K.

Przestrzeń współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń współrzędnych.

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n, przestrzeń wszystkich ciągów n-elementowych o wartościach z K stanowi n-wymiarową przestrzeń liniową nad K nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną K^n. Element K^n zapisuje się

\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n),

gdzie każdy x_i \in K. Działania na K^n zdefiniowane są wzorami:

\mathbf x + \mathbf y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n),
\alpha\mathbf x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n),
\mathbf 0 = (0, 0, \dots, 0),
\mathbf{-x} = (-x_1, -x_2, \dots, -x_n).

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało K liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych \mathbb R^n lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych \mathbb C^n.

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa K^n ma bazę kanoniczną:

\mathbf e_1 = (1, 0, \dots, 0),
\mathbf e_2 = (0, 1, \dots, 0),
\vdots
\mathbf e_n = (0, 0, \dots, 1),

gdzie 1 oznacza element neutralny mnożenia w K.

Nieskończona przestrzeń współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Niech K^\infty oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z K takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element K^\infty jako

\mathbf x = (x_1, x_2, x_3, \dots),

to tylko skończenie wiele x_i jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar K^\infty jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów \mathbf e_i zawierających 1 na i-tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej K.

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z K, które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną K^\mathbb N – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, K^\mathbb N nie jest izomorficzna z K^\infty; w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy K. Warto zauważyć, że K^\infty jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną K^\infty, ponieważ przekształcenie liniowe T z K^\infty w K jest jednoznacznie określone przez jego wartości T(\mathbf e_i) na elementach bazy K^\infty, a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowych[edytuj | edytuj kod]

Rozpoczynając od n lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Macierze[edytuj | edytuj kod]

Niech K^{m \times n} oznacza zbiór macierzy z elementami w K. Wówczas K^{m \times n} jest przestrzenią liniową nad K. Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar K^{m \times n} wynosi mn. Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianów[edytuj | edytuj kod]

Pojedyncza zmienna[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wielomianów o współczynnikach w K jest przestrzenią liniową nad K oznaczaną K[x]. Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar K[x] jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż n otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze n.

Jedną z możliwych baz dla K[x] jest złożona z wielomianów 1, x,\,x^2,\,x^3,\dots: współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z K[x] w nieskończoną przestrzeń współrzędnych K^\infty.

Wiele zmiennych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pierścień wielomianów.

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w K jest przestrzenią liniową nad K oznaczaną K[x_1, x_2, \dots, x_r], gdzie r oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń funkcyjna.

Niech X będzie dowolnym zbiorem, a V dowolną przestrzenią liniową nad K. Przestrzeń wszystkich funkcji z X w V jest przestrzenią liniową nad K z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji f,\,g i dowolnego skalara \alpha:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(\alpha f)(x) = \alpha f(x),

gdzie działania po prawej stronie są określone w V. Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z X w V jest zwykle oznaczana V^X.

Jeżeli zbiór X jest skończony, a V skończeniewymiarowa, to V^X ma wymiar |X|^{\dim V}, w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli X jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Uogólnione przestrzenie współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z X w K, które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową K^X.

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana (K^X)_0 i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli X jest zbiorem liczb od 1 do n, to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych K^n. Podobnie jeżeli X jest zbiorem liczb naturalnych \mathbb N, to przestrzeń ta jest po prostu K^\infty.

Baza kanoniczna dla (K^X)_0 jest zbiorem funkcji \{\delta_x | x \in X\} określonych wzorem

\delta_x(y) = \begin{cases}1, & x = y \\ 0, & x \ne y \end{cases}.

Wymiar (K^X)_0 jest więc równy mocy zbioru X. W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną (K^X)_0.

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta |X| egzemplarzy K (czyli jednej dla każdego punktu z X):

(K^X)_0 = \bigoplus_{x \in X}~K.

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym |X| egzemplarzy K, który dałby pełną przestrzeń funkcyjną K^X.

Przekształcenia liniowe[edytuj | edytuj kod]

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech \operatorname{L}(V, W) oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z V do W (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad K). Wówczas Niech \operatorname{L}(V, W) jest podprzestrzenią

W^V, ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że \operatorname{L}(K^n, K^m) może być identyfikowane z przestrzenią macierzy K^{m \times n} w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach V oraz W przestrzeń \operatorname{L}(V, W) może być także identyfikowana z K^{m \times n}. Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy [0, 1], możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z X w \mathbb R. Jest to podprzestrzeń liniowa \mathbb R^X, ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Równania różniczkowe[edytuj | edytuj kod]

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z \mathbb R \to \mathbb R składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią \mathbb R^\mathbb R, o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli (af + bg)^' = af^' + bg^', gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciała[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że L jest podciałem K (por. rozszerzenie ciała). Wówczas K może być uważane za przestrzeń liniową nad L przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z L (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone \mathbb C tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi \mathbb R. Podobnie liczby rzeczywiste \mathbb R tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi \mathbb Q.

Jeżeli V jest przestrzenią liniową nad K, to może być uważana również za przestrzeń liniową nad L. Wymiary są związane wzorem

\dim_L V = \dim_K V \cdot \dim_L K.

Na przykład \mathbb C^n, uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar 2n.

Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy K jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy K_q, jednoznaczne, skończone ciało o q elementach. q musi być tutaj potęgą liczby pierwszej (q = p^m, \quad p – pierwsza). Wtedy dowolna n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad K_q będzie mieć q^n elementów. Liczba elementów V również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych (K_q)^n.