Punkt rozgałęzienia

Wykres części urojonej funkcji logarytmicznej. Oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia

Punkt rozgałęzienia funkcji analitycznej wieloznacznej $f\;$ to taki punkt $z_0\;$ że przedłużając analitycznie tę funkcję dookoła $z_0\;$ za pomocą łańcucha kół $K_0, K_1, K_2, \dots K_n,$ takich że:

• każde zawiera $z_0,\;$
• każde jest przedłużeniem analitycznym poprzedniego,
• koło $K_n\;$ ma część wspólną z $K_0\;$ inną niż $\{z_0\},$

uzyskamy w kole $K_n\;$ funkcję o innych wartościach niż we wspólnej z $K_n\;$ części koła $K_0.\;$

Intuicja

Intuicyjnie, przemieszczając punkt $z\;$ po krzywej zamkniętej dookoła punktu rozgałęzienia $z_0,\;$ wartości $f(z)\;$ będą się zmieniały w sposób ciągły, jednak na końcu pętli wartość $f(z)\;$ będzie inna niż wartość w tym samym punkcie na początku pętli.

Przykład punktu rozgałęzienia

Przykładem jest punkt $z_0\;$ dla funkcji $\log (z-z_0) . \;$

Właściwości

Funkcja nie jest holomorficzna w pierścieniu otaczającym punkt rozgałęzienia. Nie można jej zatem w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta. Można natomiast określić jej jednoznaczną gałąź w jednospójnym obszarze nie zawierającym punktu rozgałęzienia.

Bibliografia

• Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. IV. Warszawa: PWN, 1953, s. 91.