Punkt rozgałęzienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres części urojonej funkcji logarytmicznej. Oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia

Punkt rozgałęzienia funkcji analitycznej wieloznacznej f\; to taki punkt z_0\;, że przedłużając analitycznie tę funkcję dookoła z_0\; za pomocą łańcucha kół K_0, K_1, K_2, \dots K_n, takich że:

  • każde zawiera z_0,\;
  • każde jest przedłużeniem analitycznym poprzedniego,
  • koło K_n\; ma część wspólną z K_0\; inną niż \{z_0\},

uzyskamy w kole K_n\; funkcję o innych wartościach niż we wspólnej z K_n\; części koła K_0.\;

Intuicja[edytuj | edytuj kod]

Intuicyjnie, przemieszczając punkt z\; po krzywej zamkniętej dookoła punktu rozgałęzienia z_0,\; wartości f(z)\; będą się zmieniały w sposób ciągły, jednak na końcu pętli wartość f(z)\; będzie inna, niż wartość w tym samym punkcie na początku pętli.

Przykład punktu rozgałęzienia[edytuj | edytuj kod]

Przykładem jest punkt z_0\; dla funkcji \log (z-z_0) . \;

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Funkcja nie jest holomorficzna w pierścieniu otaczającym punkt rozgałęzienia. Nie można jej zatem w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta. Można natomiast określić jej jednoznaczną gałąź w jednospójnym obszarze nie zawierającym punktu rozgałęzienia.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]