Punkt skupienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Punkt p przestrzeni topologicznej T1 jest punktem skupienia zbioru A, gdy dowolny zbiór otwarty zawierający p zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od p, tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu  p ze zbiorem  A jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Punkt p jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru A\setminus\{p\}[1].

Związane pojęcia[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem, punkt p należący do zbioru A jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru A różnych od p.
  • Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu p znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru A, to punkt p nazywamy punktem kondensacji zbioru A.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych.
  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru zbioru liczb wymiernych.
  • Punkty skupienia przedziału (0, 1) to wszystkie punkty tego przedziału, 0 oraz 1. Wszystkie one są punktami kondensacji przedziału (0, 1).
  • Punkty skupienia przedziału (0, 1] to wszystkie punkty wewnętrzne tego przedziału, 0 oraz należący również do przedziału punkt 1. Jak wyżej, wszystkie te punkty są punktami kondensacji.
  • Zbiór {0, 1, 2} nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
  • Jedynym punktem skupienia zbioru {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} jest 0, pozostałe są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
  • Jedynymi punktami skupienia zbioru {1/4, 3/4, 1/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 6/7,...} są 0 i 1, pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1978, s. 48.