Punkt skupienia
Z Wikipedii
Punkt p przestrzeni topologicznej jest punktem skupienia zbioru A, gdy dowolny zbiór otwarty zawierający p zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od p, tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu p ze zbiorem A jest niepusty.
Zauważmy, że punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru.
Spis treści |
[edytuj] Własności
- Punkt p jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru
.
- W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru A.
[edytuj] Związane pojęcia
- Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem, punkt p należący do zbioru A jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru A różnych od p.
- Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu p znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru A, to punkt p nazywamy punktem kondensacji zbioru A.
[edytuj] Przykłady
- Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych.
- Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru zbioru liczb wymiernych.
- Punkty skupienia przedziału (0, 1) to wszystkie punkty tego przedziału, 0 oraz 1. Wszystkie one są punktami kondensacji przedziału (0, 1).
- Punkty skupienia przedziału (0, 1] to wszystkie punkty wewnętrzne tego przedziału, 0 oraz należący również do przedziału punkt 1. Jak wyżej, wszystkie te punkty są punktami kondensacji.
- Zbiór {0, 1, 2} nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
- Jedynym punktem skupienia zbioru {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} jest 0, pozostałe są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
- Jedynymi punktami skupienia zbioru {1/4, 3/4, 1/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 6/7,...} są 0 i 1, pozostałe punkty są izolowane.
