q-analog

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

q-analog – w kombinatoryce i teorii funkcji specjalnych, gałęziach matematyki, ogólnie rzecz ujmując twierdzenie bądź tożsamość zawierająca zmienną q, które dają dobrze znany wynik przy wzięciu granicy przy q \to 1 (w większości sytuacji wewnątrz zespolonego koła jednostkowego). Najwcześniejszym szczegółowo studiowanym q-analogiem był podstawowy szereg hipergeometryczny wprowadzony w XIX wieku.

q-analogi znajdują zastosowanie w wielu działach, w tym studiach nad fraktalami, czy miarami wielofraktalnymi (ang. multi-fractal measure) i wyrażeniami entropii chaotycznych systemów dynamicznych. Związek z fraktalami i systemami dynamicznymi wynika z faktu, iż większość schematów fraktalnych ma w ogólności symetrie grup Fuchsa (zob. przykładowo Indra's Pearls i sieć Apoloniusza), a w szczególności – grup modularnych. Związek łączy geometrię hiperboliczną i teorię ergodyczną, gdzie całki eliptyczne i formy modularne grają główną rolę; już same q-szeregi są blisko związane z całkami eliptycznymi.

q-analogi pojawiają się również podczas studiowania grup kwantowych oraz w q-zdeformowanych superalgebrach. Związek jest tu podobny w tym, iż większość teorii strun wyrażona jest w języku powierzchni Riemanna, co stanowi połączenie z krzywymi eliptycznymi, które mają z kolei związek z q-szeregami.

Wstępne przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zauważając, że

\lim_{q \to 1} \frac{1-q^n}{1-q} = n

(nie jest niezbędnym w skończonych wyrażeniach tego typu ograniczenie q do wnętrza okręgu jednostkowego), można zdefiniować q-analog liczby n, znany także jako q-nawias lub q-liczba n, jako

[n]_q = \frac{1-q^n}{1-q}.

Za jego pomocą można zdefiniować q-analog silni, q-silnię, jako

\begin{align} \big[n]_q! & = [1]_q [2]_q \dots [n-1]_q [n]_q \\ & = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \dots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\ & = 1(1+q) \dots (1 + q + \dots + q^{n-2}) (1 + q + \dots + q^{n-1}). \end{align}

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się przechodząc do granicy przy q \to 1.

Korzystając z q-silni można przejść do definicji współczynników q-dwumianowych, znanych również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa lub dwumiany Gaussa:

\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q = \frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.

q-analogi kombinatoryczne[edytuj | edytuj kod]

Współczynniki Gaussa zliczają podprzestrzenie skończonej przestrzeni liniowej. Niech q będzie liczbą elementów ciała skończonego (liczba q jest wtedy potęgą liczby pierwszej, q = p^r, tak więc wykorzystanie litery q jest szczególnie stosowne). Wówczas liczba k-wymiarowych podprzestrzeni b-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem q-elementowym wynosi

\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.

Zbiegając z q do 1 uzyskuje się współczynnik dwumianowy

\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}

lub innymi słowy liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego.

Na tej podstawie skończoną przestrzeń liniową można postrzegać za q-uogólnienie zbioru, a jej podprzestrzenie jako q-uogólnienia jego podzbiorów. Okazał się to owocny punkt widzenia podczas znajdowania nowych, interesujących twierdzeń. Przykładowo istnieją q-analogi twierdzenia Spernera i teorii Ramseya.

q → 1[edytuj | edytuj kod]

W przeciwieństwie do uzmienniania q i postrzegania q-analogów jako deformacji można rozważać przypadek kombinatoryczny q = 1 jako granicę q-analogów przy q \to 1 (często nie można po prostu przyjąć we wzorach q = 1, stąd potrzeba brania granic).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]