q-pochodna

$q$-pochodna – w kombinatoryce, dziale matematyki, $q$-analog zwykłej pochodnej.

Definicja

$q$-pochodną funkcji $f(x)$ definiuje się wzorem

$\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\right)_q f(x) = \frac{f(qx) - f(x)}{qx - x}.$

Często zapisuje się ją również jako $\operatorname D_q f(x).$ Inną nazwą $q$-pochodnej jest pochodna Jacksona.

Związek ze zwykłymi pochodnymi

$q$-różniczkowanie przypomna zwykłe różniczkowanie z ciekawymi różnicami; przykładowo $q$-pochodną jednomianu jest

$\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q z^n = \frac{1-q^n}{1-q} z^{n-1} = [n]_q z^{n-1},$

gdzie $[n]_q$ jest $q$-nawiasem $n.$ Ponieważ $\lim_{q \to 1} [n]_q = n,$ to zbiegając w tej granicy z powyższym wyrażeniem uzyskuje się zwykłą pochodną.

$n$-ta pochodna funkcji może być dana jako

$(\operatorname D^n_q f)(0) = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} [n]_q!$

przy założeniu, że w punkcie $x = 0$ istnieje $n$-ta pochodna funkcji $f.$ W powyższym wzorze $(q;q)_n$ oznacza symbol $q$-Pochhammera, a $[n]_q!$ to $q$-silnia.

Zobacz też

• całka Jacksona
• funkcja q-wykładnicza
• wielomian q-różnicowy
• analiza kwantowa
• entropia Tsallisa

Bibliografia

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator (Uwaga na temat operatora q-pochodnej), (1999) ArXiv math/9908140