q-pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

q-pochodna – w kombinatoryce, dziale matematyki, q-analog zwykłej pochodnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

q-pochodną funkcji f(x) definiuje się wzorem

\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\right)_q f(x) = \frac{f(qx) - f(x)}{qx - x}.

Często zapisuje się ją również jako \operatorname D_q f(x). Inną nazwą q-pochodnej jest pochodna Jacksona.

Związek ze zwykłymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]

q-różniczkowanie przypomna zwykłe różniczkowanie z ciekawymi różnicami; przykładowo q-pochodną jednomianu jest

\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q z^n = \frac{1-q^n}{1-q} z^{n-1} = [n]_q z^{n-1},

gdzie [n]_q jest q-nawiasem n. Ponieważ \lim_{q \to 1} [n]_q = n, to zbiegając w tej granicy z powyższym wyrażeniem uzyskuje się zwykłą pochodną.

n-ta pochodna funkcji może być dana jako

(\operatorname D^n_q f)(0) = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} [n]_q!

przy założeniu, że w punkcie x = 0 istnieje n-ta pochodna funkcji f. W powyższym wzorze (q;q)_n oznacza symbol q-Pochhammera, a [n]_q! to q-silnia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]