Quasi-pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Quasi-pochodna – w matematyce jedno z uogólnień pochodnej funkcji między przestrzeniami Banacha. Quasi-pochodną można postrzegać jako silniejszą wersję pojęcia pochodnej Gâteaux, lecz z kolei słabsze niż pochodna Frécheta (w sensie opisanym niżej).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon A \to F będzie funkcją ciągłą ze zbioru otwartego A z przestrzeni Banacha E w inną przestrzeń Banacha F. Quasi-pochodną funkcji f w punkcie x_0 \in A nazywa się przekształcenie liniowe u\colon E \to F o następującej własności:

dla każdej funkcji ciągłej g\colon [0, 1] \to A, przy czym g(0) = x_0, takiej, że istnieje g'(0) \in E zachodzi
\lim_{t \to 0^+}~\frac{f(g(t)) - f(x_0)}{t} = u(g'(0)).

Jeżeli takie przekształcenie liniowe u istnieje, to funkcję f nazywa się quasi-różniczkowalną w punkcie x_0.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Założenie ciągłości u jest zbędne, gdyż wynika z definicji. Jeżeli f jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie x_0, to na mocy reguły łańcuchowej f jest również quasi-różniczkowalna, a jej quasi-pochodna w punkcie x_0 jest równa pochodnej Frécheta w tym punkcie. Implikacja odwrotna zachodzi, o ile tylko E jest skończonego wymiaru. Jeżeli f jest quasi-różniczkowalna, to jest ona także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jej pochodna Gâteaux jest równa quasi-pochodnej tej funkcji.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Dieudonné, J: Foundations of modern analysis. Academic Press, 1969.