Quasi-pochodna

Quasi-pochodna – w matematyce jedno z uogólnień pochodnej funkcji między przestrzeniami Banacha. Quasi-pochodną można postrzegać jako silniejszą wersję pojęcia pochodnej Gâteaux, lecz z kolei słabsze niż pochodna Frécheta (w sensie opisanym niżej).

Definicja

Niech $f\colon A \to F$ będzie funkcją ciągłą ze zbioru otwartego $A$ z przestrzeni Banacha $E$ w inną przestrzeń Banacha $F.$ Quasi-pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0 \in A$ nazywa się przekształcenie liniowe $u\colon E \to F$ o następującej własności:

dla każdej funkcji ciągłej $g\colon [0, 1] \to A,$ przy czym $g(0) = x_0,$ takiej, że istnieje $g'(0) \in E$ zachodzi

$\lim_{t \to 0^+}~\frac{f(g(t)) - f(x_0)}{t} = u(g'(0)).$

Jeżeli takie przekształcenie liniowe $u$ istnieje, to funkcję $f$ nazywa się quasi-różniczkowalną w punkcie $x_0.$

Własności

Założenie ciągłości $u$ jest zbędne, gdyż wynika z definicji. Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie $x_0,$ to na mocy reguły łańcuchowej $f$ jest również quasi-różniczkowalna, a jej quasi-pochodna w punkcie $x_0$ jest równa pochodnej Frécheta w tym punkcie. Implikacja odwrotna zachodzi, o ile tylko $E$ jest skończonego wymiaru. Jeżeli $f$ jest quasi-różniczkowalna, to jest ona także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jej pochodna Gâteaux jest równa quasi-pochodnej tej funkcji.

Literatura

• Dieudonné, J: Foundations of modern analysis. Academic Press, 1969.