Różnica symetryczna

Diagram Venna dla $A \dot- B$. Różnica symetryczna oznaczona jest kolorem czerwonym.

Różnica symetryczna zbiorów $A$ i $B$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru $A$, które nie należą do zbioru $B$ oraz te, które należą do zbioru $B$, ale nie należą do zbioru $A$.

Różnicę symetryczną oznaczamy za pomocą symbolu $\dot{-}$, niektórzy używają również symbolu $\Delta$ lub $\oplus$.

Definicja formalna

$A \dot{-} B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Własności

• Jeśli $A \subseteq B$, to $A \dot{-} B = B \setminus A$.
• Jeśli $A \cap B = \emptyset$, to $A \dot{-} B = B \cup A$.
• Zbiór $A \dot{-} (B \dot{-} C)$ składa się z elementów, które albo należą do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania.
• Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów: $A \cup B = A \dot{-} B \dot{-} (A \cap B)$ oraz $A \setminus B = A \dot{-} (A \cap B)$.
• Zbiór potęgowy $\mathcal P(A)$ zbioru $A$ z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to
  • jest operacją łączną,
  • jest operacją przemienną,
  • ma element neutralny – jest nim zbiór pusty,
  • ma element odwrotny dla dowolnego zbioru $A$ – jest nim sam zbiór $A$, gdyż $A \dot- A = \varnothing$.
• Wraz z operacją przekroju powyższa grupa tworzy przemienny, łączny pierścień z jedynką, w którym $A \cap A = A$ dla wszystkich $A\in \mathcal P(A)$. W szczególności, pierścień ten jest przykładem pierścienia Boole'a.

Różnica symetryczna w logice

Przyjmując, że zdanie logiczne a oznacza: x należy do zbioru A', natomiast zdanie b: x należy do zbioru B to różnicę symetryczną $A \dot{-} B$ można równoważnie zapisać jako $a \underline\or b.$

Bibliografia

1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966. 
2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977. 
3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971. 

Zobacz też

• alternatywa wykluczająca,
• dopełnienie zbioru,
• iloczyn kartezjański,
• przekrój zbiorów,
• różnica zbiorów,
• suma zbiorów.