Różnica symetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram Venna dla A \dot- B. Różnica symetryczna oznaczona jest kolorem czerwonym.

Różnica symetryczna zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B oraz te, które należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A.

Różnicę symetryczną oznaczamy za pomocą symbolu \dot{-}, niektórzy używają również symbolu \Delta lub \oplus.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

A \dot{-} B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli  A \subseteq B , to A \dot{-} B = B \setminus A.
  • Jeśli  A \cap B = \emptyset , to A \dot{-} B = B \cup A.
  • Zbiór A \dot{-} (B \dot{-} C) składa się z elementów, które albo należą do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania.
  • Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:  A \cup B = A \dot{-} B \dot{-} (A \cap B) oraz  A \setminus B = A \dot{-} (A \cap B).
  • Zbiór potęgowy \mathcal P(A) zbioru A z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to
  • Wraz z operacją przekroju powyższa grupa tworzy przemienny, łączny pierścień z jedynką, w którym A \cap A = A dla wszystkich A\in \mathcal P(A). W szczególności, pierścień ten jest przykładem pierścienia Boole'a.

Różnica symetryczna w logice[edytuj | edytuj kod]

Przyjmując, że zdanie logiczne a oznacza: x należy do zbioru A', natomiast zdanie b: x należy do zbioru B to różnicę symetryczną A \dot{-} B można równoważnie zapisać jako  a \underline\or b.

Przypisy

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966, s. 24.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]