Różnica zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Różnica zbiorów A \ B - zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:

A \setminus B = \{ x\colon x\in A \and x \notin B\}

A jest podzbiorem B (czyli zbiór A zawiera się w B) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica A \ B jest zbiorem pustym:

A \subseteq B \Leftrightarrow A \setminus B = \varnothing.

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[1], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

  • Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
 X \setminus {\bigcup\limits_i} A_i = \bigcap\limits_i (X \setminus A_i) .
  • Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:
 X \setminus {\bigcap\limits_i} A_i = \bigcup\limits_i (X \setminus A_i) .

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru X można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy - iloczynami, a iloczyny - sumami.

Przypisy

  1. A. N. Kołmogorow, S. W. Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1989, s. 20. ISBN 5-02-013993-9.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]