Róg Gabriela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Model rogu Gabriela

Róg Gabriela (lub trąbka Torricellego) – bryła geometryczna, opisana przez Evangelistę Torricellego, o nieskończonej powierzchni zewnętrznej, ale skończonej objętości. Nazwą nawiązuje do archanioła Gabriela, który ogłosi Sąd Ostateczny zadęciem w róg.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Rzut boczny rogu Gabriela

Powierzchnię obrotową powstałą w wyniku obrotu wokół osi OX wykresu funkcji

f(x)= \frac{1}{x}

w przedziale x ≥ 1 nazywa się rogiem Gabriela. Dziedzina funkcji f jest tak dobrana aby można było uniknąć asymptoty w punkcie x = 0.

Objętość a pole powierzchni[edytuj | edytuj kod]

Używając rachunku różniczkowego i całkowego można wykazać, że objętość V(a) i pole A(a) powierzchni obrotowej, powstałej poprzez obrót wykresu funkcji f w przedziale 1 ≤ xa, gdzie a>1 jest dowolną liczbą rzeczywistą wynoszą odpowiednio

V(a) = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)
A(a) = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a

Granica funkcji V(a) przy a\to \infty istnieje i jest skończona, dokładniej:

\lim_{a \to \infty}V(a)=\lim_{a \to \infty} \pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi

Oznacza to, że róg Gabriela ma objętość równą \pi.

Funkcja A(a) ma granicę równą \infty przy a\to \infty, tzn.

\lim_{a \to \infty}A(a)=\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a = \infty.

Z powyższego wynika, że pole powierzchni rogu Gabriela jest nieskończone. Odkrycie opisanych wyżej własności rogu Gabriela nastąpiło w wyniku zastosowania zasady Cavalieriego, jeszcze przed pojawieniem się rachunku różniczkowego i całkowego.

Paradoks malarzy[edytuj | edytuj kod]

Istnienie takiej bryły uznano za paradoks, ponieważ obracając nieskończoną krzywą dookoła osi x uzyskuje się skończoną objętość. Często jest on nazywany paradoksem malarzy, ponieważ do pomalowania takiej powierzchni potrzebna jest nieskończona ilość farby, ale wystarczy skończona ilość farby, aby napełnić naczynie o takim kształcie.

Paradoks powstaje, ponieważ długość "pierścieni" całkowanych w celu znalezienia powierzchni jest o jeden wymiar mniejsza niż powierzchnia "plastrów" całkowanych w celu znalezienia objętości całkowitej. Ponieważ x \to \infty, to:

 \pi\frac{1}{x^2} \ll 2\pi\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}

Oznacza to, że z rosnącym x numeryczna wielkość "plastrów" (odpowiadających za objętość) jest znacznie mniejsza niż "pasków" (odpowiadających za pole). Po całkowaniu (jak pokazano powyżej) wynika, że objętość zmierza, ale nigdy nie przekracza wartości \pi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]