Równania Eulera-Lagrange’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Równania Eulera-Lagrange'a)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równania Eulera-Lagrange'a, równania Lagrange'a – podstawowe równanie rachunku wariacyjnego, którego rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane całką oznaczoną jest stacjonarne.

Dla funkcjonału:

S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(x(t),x'(t),t) dt

rozwiązaniem rówania Eulera-Lagrange'a:

\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial x'}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0

są funkcje x(t), dla których S jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń x(t), S zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby S przyjmowało dla x(t) ekstremum.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Równanie Eulera-Lagrange'a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange'a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony. Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)[1].

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Równania Eulera-Lagrange'a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii (krzywa łańcuchowa).

Mechanika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z zasadą Hamiltona układ zachowuje się tak, że działanie S jest stacjonarne.

S=\int\limits^{t_2}_{t_1}L dt,

gdzie t to czas, a L to lagrangian. W mechanice klasycznej ma on postać:

L = E_{kin} - E_{pot},

gdzie:

E_{kin} — energia kinetyczna układu,
E_{pot} — energia potencjalna układu.

Aby S było stacjonarne, L musi spełniać równanie Eulera-Lagrange'a dla każdej zmiennej stanu q_k(t):

\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right ) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0,

gdzie

\dot{q_k} = \frac{dq_k}{dt}.

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange'a mają swoje nazwy:

\frac{\partial L}{\partial q _{k}} = F_{k}siła uogólniona (jej k-ta składowa)
\frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{k}} = p_{k}pęd uogólniony (jego k-ta składowa)

Przykład: Maszyna Atwooda[edytuj | edytuj kod]

Maszyna Atwooda. x_1 i x_2 to odległości ciał o masach odpowiednio m_1 i m_2 od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu (x_1 i x_2).

Mamy układ dwóch mas m_1 m_2 w stałym polu grawitacyjnym \vec{g} przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa. Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:

 E_{kin} = \frac{m_1 \dot{x_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{x_2}^2}{2} ,
 E_{pot} = m_1g(-x_1) + m_2g(-x_2) .

Czyli lagrangian ma postać:

 L =  E_{kin} - E_{pot} = \frac{m_1 \dot{x_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{x_2}^2}{2} + m_1gx_1 + m_2gx_2 .

A ponieważ linka jest nierozciągliwa  x_1 = - x_2 + C , gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

 L = \frac{(m_1+m_2) \dot{x_1}^2}{2} + (m_1-m_2)gx_1 + m_2gC .

Składowe równania Eulera-Lagranga:

\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}\right ) = \frac{d}{dt} \left ( {(m_1+m_2) \dot{x_1}} \right ) = {(m_1+m_2) \ddot{x_1}},
\frac {\partial L}{\partial x_1} = (m_1-m_2)g.

Z równania Eulera-Lagrange'a:

 \frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x_1} = {(m_1+m_2) \ddot{x_1}} - (m_1-m_2)g=0 .

Rozwiązując względem \ddot{x_1}, otrzymujemy stałe przyspieszenie:

 \ddot{x_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g .

Wobec tego

 x(t) =  \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g  \frac{t^2}{2} + v_0t + x_0 ,

gdzie v_0 i x_0 to stałe wyznaczane na podstawie warunków początkowych.

Brachistochrona[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Brachistochrona.

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości mg jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange'a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej y(x), żeby czas t był minimalny.

t = \int\limits_A^B \frac{ds}{v} ,

gdzie

v = \sqrt{2gy} — prędkość ciała, której zależność od y wynika z zasady zachowania energii,
ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{ (x'(y)) ^2 + 1}dyróżniczka drogi.

Podstawiając, otrzymujemy:

t = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B \sqrt{\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}}dy = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B fdy ,

gdzie

f = \sqrt{\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}}.

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej x(y) spełniającej równanie Eulera-Lagrange'a:

\frac{d}{dy} \frac{\partial f}{\partial x'} - \frac{\partial f}{\partial x} = 0

Rozwiązując to równanie otrzymujemy brachistochronę:

x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - sin\theta),
y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-cos\theta),

gdzie k to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.

Krzywa łańcuchowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Krzywa łańcuchowa.

Równanie Eulera-Lagrange'a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową[2], która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym g. Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

E_{pot} = \int\limits_A^B \rho g y(x) ds,

gdzie

\rho – gęstość liniowa linki,
ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1+ (y'(x)) ^2}dxróżniczka długości krzywej.

Podstawiając, otrzymujemy:

E_{pot} = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2}  y\sqrt{1+ (y'(x)) ^2}dx = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2}  fdx,

gdzie

f = y\sqrt{1+ (y'(x)) ^2}.

Aby energia potencjalna była minimalna, f musi spełniać równanie Eulera-Lagrange'a:

\frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:

y(x) = a \, \cosh \left ({x \over a} \right ),

a jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech x będzie funkcją parametru t o zadanych warunkach początkowych i końcowych:

x: \mathbb R \to \mathbb R^n i  x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2

Mamy daną funkcję L(x,x',t) i szukamy takich x(t), żeby S(x)= \int \limits_{t_1}^{t_2} Ldt było stacjonarne. Załóżmy, że x_0 jest takim rozwiązaniem. Wtedy jeśli  x=x_0+ \varphi to  \Delta S =  S(x_0) - S(x) jest małe w stosunku do \varphi (przybliżenie liniowe \Delta S(\varphi) jest równe 0).

Jeśli wprowadzimy parametr  y \in \mathbb R niezależny od czasu i zapiszemy  x = x_0 + y\varphi to zagadnienie sprowadza się do analizy funkcji jednej zmiennej  S(y) = \int \limits_{t_1}^{t_2} L(x_0+ y\varphi, {x_0}'+ y\varphi',t )dt , a szukany ma postać \frac{dS}{dy}=0

\frac{dS}{dy}= \int \limits_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial y}dt (twierdzenie Leibnitza)

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:

0 = \frac{dS}{dy}= \int \limits_{t_1}^{t_2} (\varphi\frac{\partial L}{\partial x} + {\varphi}'\frac{\partial L}{\partial x'})dt = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi'\frac{\partial L}{\partial x'}dt

Całkując drugi człon przez części, otrzymujemy: 0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \Big[ \varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \Big]_{t_1}^{t_2} - \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'}dt .

Ponieważ  x(t_1)=x_1 dla każdego  x , więc  \varphi(t_1) = 0 . Podobnie  \varphi(t_2) = 0 . Wobec tego  \Big[ \varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \Big]_{t_1}^{t_2} = 0

0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi \left (\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} \right ) dt.

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla każdej funkcji  \varphi , więc wyrażenie \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} musi być równe  0 .

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212-271. ISBN 978-83-01-14674-0.
  • W.I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981, s. 56-61. ISBN 83-01-00143-7.