Równania Friedmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Równania Friedmana – podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu p i gęstości ρ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera.

Postać równań[edytuj | edytuj kod]

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali a w zależności od czasu kosmicznego t:

H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}\,,

gdzie H to parametr Hubble'a, G – newtonowska stała grawitacji, kkrzywizna przestrzeni, cprędkość światła, zaś Λ – stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

\dot{H} + H^2 \equiv \frac{\ddot{a}}{a} =  -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}\,.

Parametr Hubble'a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, H0, zwana jest stałą Hubble'a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble'a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości Ω = ρ/ρc, gdzie ρc jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_r a^{-4} + \Omega_m a^{-3} + \Omega_k a^{-2} + \Omega_{\Lambda}.

Wielkości Ωr, Ωm i ΩΛ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś Ωk jest "parametrem krzywizny". Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).