Równania Maxwella

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

James Clerk Maxwell

Równań Maxwella nie należy mylić z termodynamicznymi relacjami Maxwella.

Z równań Maxwella można wyprowadzić między innymi równania falowe fali elektromagnetycznej oraz wyznaczyć prędkość takiej fali propagującej (rozchodzącej się) w próżni (prędkość światła).

Historia

Najważniejsze fakty historyczne prowadzące do powstania równań Maxwella:

• André Marie Ampère w 1820 roku sformułował prawo określające wielkość pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód z prądem elektrycznym.
• Carl Friedrich Gauss współpracując w latach 1831-1833 z Wilhelmem Weberem sformułował prawa nazwane jego imieniem.
• W 1832 Michael Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
• James Clerk Maxwell w roku 1861 zebrał prawa elektrodynamiki w cztery równania. Uogólnił prawo Ampere'a, zasugerował też, że znane zjawiska elektromagnetyczne i światło mają wspólną naturę. Początkowo rozważania Maxwella, bardzo skomplikowane i opisane hermetycznym formalizmem matematycznym, nie znalazły szerszego oddźwięku w świecie nauki.
• Oliver Heaviside w 1885 roku uprościł matematyczny formalizm Maxwella wyrażając jego idee w języku rachunku wektorowego.
• W 1875 Hendrik Antoon Lorentz wyeliminował obecną w dotychczasowych rozważaniach Maxwella koncepcję eteru i nadał równaniom Maxwella sens, jaki znamy dzisiaj.
• Pierwszej świadomej emisji i odbioru fal elektromagnetycznych, w zakresie widmowym innym niż światło, dokonał Heinrich Hertz w roku 1886. Jego doświadczenia uznaje się za odkrycie fal elektromagnetycznych, potwierdzających koncepcje Maxwella.

Sformułowanie

Postać całkowa

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

Prawo to wiąże zmienne pole magnetyczne z indukowanym przez nie polem elektrycznym:

$\oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t}$,

rozpisując strumień pola magnetycznego:

$\oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \int\limits_S \vec B \cdot \mbox{d}\vec{s}$,

gdzie

$\vec E$ - natężenie pola elektrycznego,

L - dowolny zamknięty kontur,

Φ_B - strumień indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na konturze L,

$\vec B$ - indukcja pola magnetycznego.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej (cyrkulacja) z natężenia pola elektrycznego jest równa minus pochodnej po czasie (szybkości zmian) strumienia pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Uogólnione prawo Ampere'a

Prawo to wiąże indukcję pola magnetycznego z wywołującymi je prądem elektrycznym oraz zmiennym polem elektrycznym:

$\oint\limits_L \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\mbox{d}\Phi_E}{\mbox{d}t}$,

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego:

$\oint\limits_L \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \int\limits_S \vec E \cdot \mbox{d}\vec{s}$,

gdzie

L - dowolny zamknięty kontur,

I - całkowity prąd elektryczny przepływający przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na konturze L,

Φ_E - strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię,

μ - przenikalność magnetyczna ośrodka,

ε - przenikalność elektryczna ośrodka.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej z indukcji pola magnetycznego jest równa sumie

• μ razy całkowite natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, oraz
• μ • ε razy pochodnej po czasie (prędkości zmian) strumienia natężenia pole elektrycznego przez tą powierzchnię.

Prawo Gaussa dla elektryczności

Prawo Gaussa wiąże strumień pola elektrycznego z ładunkiem wytwarzającym to pole:

$\varepsilon \Phi_E = q$,

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego

$\varepsilon \oint\limits_S \vec E \cdot \mbox{d}\vec{s} = q$,

gdzie

Φ_E - strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S,

q - całkowity ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni.

Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą przemnożony przez przenikalność elektryczną ośrodka jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Prawo to stwierdza, że pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne:

$\Phi_B = 0$,

rozpisując wyrażenie na strumień pola magnetycznego:

$\oint\limits_S \vec B \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0$,

gdzie

Φ_B - strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S.

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru.

Postać różniczkowa

Równania Maxwella w postaci całkowej wiążą pole elektryczne i magnetyczne na rozciągłych krzywych i powierzchniach. Przechodząc do granicy małych wymiarów można otrzymać je w postaci różniczkowej, wiążącej pole elektryczne i magnetyczne w każdym punkcie przestrzeni. Formalnie najprościej przechodzić pomiędzy postaciami różniczkowymi i całkowymi wykorzystując twierdzenia Stokesa oraz Gaussa-Ostrogradskiego.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

W obszarze, w którym istnieje zmienne pole magnetyczne powstaje pole elektryczne:

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}}$,

gdzie

$\nabla \times$ – operator rotacji.

Uogólnione prawo Ampere'a

Źródłem pola magnetycznego może być płynący prąd elektryczny oraz zmieniające się w czasie pole elektryczne:

$\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} +\mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial {t}}$,

gdzie

$\vec j$ - gęstość prądu elektrycznego.

Prawo Gaussa dla elektryczności

Wiąże pole elektryczne z gęstością ładunku wytwarzającego to pole:

$\varepsilon \nabla \cdot \vec{E} = \rho$,

gdzie

$\nabla \cdot$ – operator dywergencji,

ρ - gęstość ładunku elektrycznego.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Nie ma "ładunków (monopoli) magnetycznych", które mogłyby być źródłem pola magnetycznego:

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

Podsumowanie

Postać różniczkowa	Postać całkowa	Sens fizyczny równania
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}}$	$\oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t}$ gdzie ΦB - strumień magnetyczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L	Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella
$\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} +\mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial {t}}$	$\oint\limits_L \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\mbox{d}\Phi_E}{\mbox{d}t}$ gdzie ΦE - strumień elektryczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L, a I - całkowity prąd elektryczny przecinający ten kontur	Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności
$\varepsilon \nabla \cdot \vec{E} = \rho$	$\varepsilon \oint\limits_S \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{s} = q$ gdzie q - całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni S	Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0$	Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Postać z wektorami H i D

Niekiedy do opisu pola elektrycznego i magnetycznego wprowadza się wektory indukcji elektrycznej (przesunięcia dielektrycznego) $\vec D$ oraz natężenia pola magnetycznego $\vec H$ określone przez:

$\vec D = \varepsilon \vec E$

$\vec B = \mu \vec H$

Równania Maxwella formułuje się wtedy wydzielając z ładunku tak zwany ładunek swobodny, nie uwzględniający ładunków będących rezultatem polaryzacji dielektryka, a z prądów odpowiednio "prąd ładunków swobodnych" nie uwzględniający prądu polaryzacji. Równania Maxwella przyjmują postać:

Postać różniczkowa	Postać całkowa	Sens fizyczny
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}}$	$\oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t}$	Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella
$\nabla \times \vec{H} = \vec{j}_{sw} +\frac{\partial \vec{D}} {\partial {t}}$ gdzie $\vec{j}_{sw}$ - gęstość prądu ładunków swobodnych.	$\oint\limits_L \vec{H} \cdot \mbox{d}\vec{l} = I_{sw} + \frac{\mbox{d}\Phi_D}{\mbox{d}t}$ gdzie ΦD - strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze L, Isw - prąd ładunków swobodnych przepływających przez tę powierzchnię.	Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności
$\nabla \cdot \vec{D} = \rho_{sw}$ gdzie ρsw - gęstość ładunku swobodnego.	$\Phi_D = \oint\limits_S \vec{D} \cdot \mbox{d}\vec{s} = q_{sw}$ gdzie ΦD - strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą; qsw - ładunek swobodny zawarty wewnątrz tej powierzchni.	Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\Phi_B = \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0$	Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

W układzie CGS

Układ jednostek CGS jednoznacznie definiuje jednostki mechaniczne, natomiast istnieje kilka konwencji uzupełniania go o jednostki elektrodynamiczne. W każdym z takich przypadków równania Maxwella będzie zapisywało się nieco inaczej (najpopularniejszy jest układ CGS Gaussa).

1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya	2. Prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella	3. Prawo Gaussa dla elektryczności	4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
W układzie CGS w wersji Gaussa.
$\nabla \times \vec{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \vec{J}$	$\nabla \cdot \vec{E} = 4\pi\rho$	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$
W elektrostatycznym układzie CGS (es-CGS, ESU, stat-CGS).
$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c^2} \vec{J}$	$\nabla \cdot \vec{E} = 4\pi\rho$	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$
W elektromagnetycznym układzie CGS (em-CGS, EMU, ab-CGS).
$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + {4\pi} \vec{J}$	$\nabla \cdot \vec{E} = 4\pi c^2 \rho$	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$
W układzie CGS w wersji Lorenza-Heaviside'a.
$\nabla \times \vec{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \vec{E}} {\partial t} + \frac{1}{c} \vec{J}$	$\nabla \cdot \vec{E} = \rho$	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

Szczególne przypadki

W ośrodkach liniowych

W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna i magnetyczna jest tensorem, czasami zależnymi od natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. Ale w większości przypadków materiały są izotropowe wówczas ε i μ są skalarami (liczbami), wówczas równania Maxwella przyjmują uproszczoną postać.

$\nabla \cdot \varepsilon \vec{E} = \rho$

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$

$\nabla \times {\vec{B} / \mu} = \vec{j} + \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

W próżni

Próżnia jest ośrodkiem liniowym, izotropowym. Przenikalność elektryczną próżni oznacza się przez ε₀, a przenikalność magnetyczną próżni przez μ₀. W próżni nie ma ładunków (ρ=0) i nie płynie prąd (j = 0). Wówczas równania Maxwella upraszczają się do postaci:

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

Z równań tych wynika, że w próżni zmieniające się pole elektryczne wywołuje zmienne wirowe pole magnetyczne, a zmieniające się pole magnetyczne wywołuje zmienne wirowe pole elektryczne. Zmiany te w postaci fali elektromagnetycznej rozchodzą się z prędkością

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.

Prędkość tę, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła.

W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po raz pierwszy eksperyment, w którym były wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich istnienia i potwierdzając słuszność równań Maxwella.

Bibliografia

1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Podstawy Fizyki. T. 3. Warszawa: PWN, 2003. ISBN 83-01-14076-3.
2. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. II - część 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.
3. Edward M. Purcell: Elektryczność i magnetyzm. Warszawa: PWN, 1971.