Równanie Burgersa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Burgersa jest to jedno z fundamentalnych równań różniczkowych cząstkowych mechaniki płynów. Występuje w wielu dziedzinach matematyki i fizyki, np. w modelach dynamiki gazów i ruchu ulicznego. Nazwa równania upamiętnia holenderskiego fizyka Johannesa Martinusa Burgersa (1895-1981), który jako pierwszy badał to równanie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Równanie Burgersa w ogólnej postaci jest nieliniowym, parabolicznym równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu na jedną funkcję \ u dwóch zmiennych niezależnych \ t i \ x:


   \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

gdzie

  • \ t – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako czas
  • \ x – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako położenie
  • \ u – zmienna zależna zwykle interpretowana jako prędkość płynu w \ (x,t)
  • \ \nu – stały parametr, zwykle interpretowany jako lepkość płynu

Pierwszy z członów równania Burgersa opisuje zmianę prędkości płynu w danym punkcie przestrzeni. Drugi człon jest nieliniowym wyrażeniem opisującym konwekcję płynu (tzw. człon konwekcyjny). Prawa strona równania opisuje dyssypację energii (człon lepkościowy).

Dla ν = 0 równanie Burgersa upraszcza się do tzw. nielepkiego równania Burgersa:


    \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0.

Równanie to jest prototypem (tj. modelowym przykładem) równań różniczkowych cząstkowych, których rozwiązania mogą posiadać nieciągłości (odpowiadające falom uderzeniowym).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]