Równanie Burgersa

Równanie Burgersa jest to jedno z fundamentalnych równań różniczkowych cząstkowych mechaniki płynów. Występuje w wielu dziedzinach matematyki i fizyki, np. w modelach dynamiki gazów i ruchu ulicznego. Nazwa równania upamiętnia holenderskiego fizyka Johannesa Martinusa Burgersa (1895-1981), który jako pierwszy badał to równanie.

Definicja

Równanie Burgersa w ogólnej postaci jest nieliniowym, parabolicznym równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu na jedną funkcję $\ u$ dwóch zmiennych niezależnych $\ t$ i $\ x$:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$

gdzie

• $\ t$ – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako czas
• $\ x$ – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako położenie
• $\ u$ – zmienna zależna zwykle interpretowana jako prędkość płynu w $\ (x,t)$
• $\ \nu$ – stały parametr, zwykle interpretowany jako lepkość płynu

Pierwszy z członów równania Burgersa opisuje zmianę prędkości płynu w danym punkcie przestrzeni. Drugi człon jest nieliniowym wyrażeniem opisującym konwekcję płynu (tzw. człon konwekcyjny). Prawa strona równania opisuje dyssypację energii (człon lepkościowy).

Dla ν = 0 równanie Burgersa upraszcza się do tzw. nielepkiego równania Burgersa:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0.$

Równanie to jest prototypem (tj. modelowym przykładem) równań różniczkowych cząstkowych, których rozwiązania mogą posiadać nieciągłości (odpowiadające falom uderzeniowym).

Linki zewnętrzne

• Równanie Burgersa w serwisie EqWorld: The World of Mathematical Equations.